[Todos] [Todos-dm] [DC-Todos] 1+2+3+4.... = -1/12
Matías Leoni
leoni en df.uba.ar
Jue Feb 20 16:13:07 ART 2014
PS: no quise ser agresivo. Si así pareció en el mail, pido disculpas.
2014-02-20 14:20 GMT-03:00 Eduardo J. Dubuc <edubuc en dm.uba.ar>:
> No entiendo la agresividad en tu tono, a menos que te identifiques con los
> que llamo "estupidos ignorantes". La ridicules ciertamente no se la
> atribuyo a Alicia, como esta claro en mi msage. Lo que le atribuyo a Alicia
> es solo el uso desafortunado del concepto "abuso de notacion". Estoy muy al
> corriente de varias otra nociones de convergencia de series de numeros
> reales. Eso solo hace cambiar el conjunto B en mi analisis formal.
>
> La falacia (o ausencia de la misma para los puntos a en B) es siempre la
> misma y reside en que hay que especificar cual es el sentido que se le
> atribuye a la suma de la serie numerica g(a) (evaluacion de g(x) en el
> punto a), lo que define el conjunto B. Si no se tiene presente que hay un
> tal conjunto B, se pueden vender todas estas ridiculeces.
>
>
>
>
>
> On 20/02/14 13:47, Matías Leoni wrote:
>
>> Eduardo,
>>
>> TE EQUIVOCÁS. Y feo. La "ridiculez" que atribuís a Alicia se llama
>> "sumabilidad de Euler" que está muy emparentada con la sumabilidad de
>> Borel. Si uno se queda con la formalización de Cauchy de los criterios
>> de convergencia y divergencia, tira a la basura todas las series
>> divergentes y listo.
>>
>> Sin embargo, hubo matemáticos como vos que se dieron cuenta que
>> proponiendo tres axiomas de sumabilidad se podía definir una operación
>> formal de "suma" (llamemosla "suma P") de series divergentes.
>>
>> Claramente la serie 1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1 .... es divergente en los
>> criterios de Cauchy. Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que esa
>> suma satisface los tres axiomas de la teoría de series divergentes y eso
>> hace que cualquier método que uno use y que satisfaga esos tres axiomas,
>> va a dar el mismo resultado.
>>
>> El método que propone Alicia, el de extender analíticamente usando una
>> serie de potencias, que llamamos "sumabilidad de Euler", satisface los
>> tres axiomas y da el valor "1/2". Cuando ella dice que esa serie es
>> "igual" a 1/2 lo que está diciendo es que la "suma P" de esa serie es
>> igual a 1/2. A eso es lo que ella se refiere con "abuso de notación". Y
>> eso es, en definitiva, un válido "abuso de notación" ya que llevaría
>> mucho espacio detallar los axiomas, los métodos y los teoremas de la
>> teoría de series divergentes.
>>
>> Evidentemente te dedicás a otra área de la matemática y no tenías idea
>> de que las nociones de sumar series no se acaba en los criterios de
>> Cauchy (del siglo XIX) pero no por esa ignorancia deberías descalificar
>> tan directamente la exposición de Alicia.
>>
>> Te recomiendo, como hice antes, el libro de Hardy. Es un poco viejo pero
>> para un primer pantallazo está bien.
>>
>> Saludos,
>>
>> Matías
>>
>>
>> 2014-02-20 12:02 GMT-03:00 Eduardo J. Dubuc <edubuc en dm.uba.ar
>> <mailto:edubuc en dm.uba.ar>>:
>>
>>
>> Alicia, felicitaciones por el ejemplo, muy bueno para ver de que se
>> trata el asunto.
>>
>> Quiero simplemente "defender" lo que usualmente se llama "abuso de
>> notacion", y al mismo tiempo hacer un analisis matematico formal de
>> la situacion. La RIDICULEZ que estamos discutiendo no es un abuso de
>> notacion.
>>
>> A mi me gusta usar abusos de notacion. Los abusos de notacion que
>> usamos los matematicos siempre tienen sentido matematico. La falacia
>> aqui no es un abuso de notacion, es simplemente escribir una cosa
>> falsa.
>>
>> Por ejemplo, yo puedo tener dos funciones f, g: A ----> C, y B c A.
>>
>> Teorema: para todo x en B, f(x) = g(x).
>>
>> Despues tomo un a en A que no esta en B, y escribo f(a) = g(a).
>>
>> Cual es la respuesta: "esta mal" !!, no que "es un abuso de notacion".
>>
>> Nota: las series determinan funciones parciales definidas en los
>> puntos que convergen, y pueden considerarse funciones si se les
>> adjudica formalmente un valor {*} en los puntos que no convergen. Lo
>> mismo para cualquier funcion parcial. Entonces:
>>
>> A = R (los reales). B = x en R tales que |x| < 1, C = R U {*}.
>>
>> f(x) = 1/(1-x), g(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+...
>>
>> Entonces, f(-1) = g(-1) no es un abuso, es simplemente falso. El
>> teorema no se aplica porque -1 no esta en B. De hecho, se tiene
>> f(-1) = 1/2, y g(-1) = *, lo que demuestra que f(-1) = g(-1) es
>> falso.
>>
>> Notar que los teoremas no dicen nada si las hipotesis no se
>> verifican. La conclusion podria ser cierta aunque las hipotesis no
>> se verifiquen. Por ejemplo, en el caso anterior tenemos f(1) = g(1)
>> = *, y 1 no esta en B.
>>
>> Por supuesto, con tu ejemplo las supercheria la ven claramente aun
>> aquellos con conocimientos matematicos elementales (Analisis I).
>>
>> Los ignorantes estupidos a los que les gusta hacer impactos
>> mediaticos utilizan el ejemplo de la funcion de Riemman porque
>> utiliza conocimientos matematicos mucho mas sofisticados (que ni
>> ellos mismos entienden) y que sirven para confundir y ocultar la
>> verdad de la situacion a todos aquellos que ignoran la nocion de
>> continuidad analitica.
>>
>>
>>
>>
>> On 20/02/14 10:22, Alicia Dickenstein wrote:
>>
>> Hola:
>>
>> Para dar una idea de qué es la continuacion analitica, aca va un
>> ejemplo
>> mas simple:
>>
>> Miremos la serie geometrica: 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+....
>>
>> Si la evaluamos en x=-1 no converge, porque da la serie: 1 -1 +
>> 1 - 1...
>> (cuyas sumas parciales van dando 1, 0, 1, 0, 1, ...)
>>
>> Pero podemos observar que si el modulo de x es menor que 1, la
>> serie
>> geometrica converge y su suma esta dada por la funcion f(x) =
>> 1/(1-x),
>> que puede evaluarse en x=-1. f es una "continuacion analitica" de
>> la
>> serie geometrica.
>>
>> Se DEFINE el valor de la serie en -1 como el valor de f en -1.
>> Como
>> f(-1) = 1/2, podemos "abusar" de la notacion y escribir
>>
>> 1 - 1 + 1 - 1+ .... = 1/2
>>
>> Saludos
>> Alicia
>>
>>
>> 2014-02-19 15:57 GMT-03:00 Nico Kicillof <nicok en outlook.com
>> <mailto:nicok en outlook.com>
>> <mailto:nicok en outlook.com <mailto:nicok en outlook.com>>>:
>>
>>
>> Las dos cosas están explicadas en el link que mandó Matías:
>> ____
>>
>> __ __
>>
>> __Ø__Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 -
>> 1 + 1...
>> sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____
>>
>>
>> this series is not conditionally convergent (and certainly
>> not
>> absolutely convergent). However, if one performs analytic
>> continuation on the series ____
>>
>>
>> \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 -
>> \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \ldots____
>>
>> and sets {s = 0}, one obtains a formal value of {1/2}for this
>> series. This value can also be obtained by smooth
>> summation. ____
>>
>> __ __
>>
>> __Ø__¿no se podría demostrar que la suma infinita de números
>> positivos no puede dar nunca un número negativo?____
>>
>> __ __
>>
>> __ __
>>
>>
>> This interpretation clears up the apparent inconsistencies
>> alluded
>> to earlier. For instance, the sum {\sum_{n=1}^\infty n = 1
>> + 2 + 3 +
>>
>> \ldots}consists only of non-negative terms, as does its
>> smoothed
>> partial sums {\sum_{n=1}^\infty n \eta(n/N)}(if {\eta}is
>>
>> non-negative). Comparing this with (13)
>> <http://terrytao.wordpress.__com/2010/04/10/the-euler-__
>> maclaurin-formula-bernoulli-__numbers-the-zeta-function-and-
>> __real-variable-analytic-__continuation/#zeta-asym-3
>>
>> <http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-
>> maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-
>> real-variable-analytic-continuation/#zeta-asym-3>>,
>> we see that this forces the highest-order term {C_{\eta,1}
>> N^2}to be
>>
>> non-negative (as indeed it is), but does not prohibit the
>> /lower-order/ constant term {-\frac{1}{12}}from being
>> negative
>> (which of course it is).____
>>
>> __ __
>>
>> __ __
>>
>> *From:*todos-bounces en dc.uba.ar
>> <mailto:todos-bounces en dc.uba.ar>
>> <mailto:todos-bounces en dc.uba.__ar <mailto:todos-bounces en dc.uba.ar
>> >>
>> [mailto:todos-bounces en dc.uba.__ar
>> <mailto:todos-bounces en dc.uba.ar>
>> <mailto:todos-bounces en dc.uba.__ar <mailto:todos-bounces en dc.uba.ar
>> >>]
>>
>> *On Behalf Of *Sebastián García Rojas
>> *Sent:* Wednesday, February 19, 2014 9:53 AM
>> *To:* Roberto Rama
>> *Cc:* Matías Leoni; todosdm; todos-df; Todos - DC; Hugo
>> Scolnik
>> *Subject:* Re: [DC-Todos] [Todos] 1+2+3+4.... = -1/12____
>>
>> __ __
>>
>>
>> Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 +
>> 1... sea
>> 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____
>>
>>
>> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar
>> que la
>> suma infinita de números positivos no puede dar nunca un
>> número
>> negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y
>> demostrando
>> que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?____
>>
>> __ __
>>
>>
>> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com
>> <mailto:bertoski en gmail.com>
>> <mailto:bertoski en gmail.com <mailto:bertoski en gmail.com>>>:______
>>
>>
>>
>> Yo encontre mas util esta clase para entender lo que
>> estaba
>> pasando:____
>>
>> __ __
>>
>> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=__44m43s____
>>
>> <http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s____>
>>
>> __ __
>>
>> Saludos!____
>>
>> __ __
>>
>>
>> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni
>> <leoni en df.uba.ar <mailto:leoni en df.uba.ar>
>> <mailto:leoni en df.uba.ar <mailto:leoni en df.uba.ar>>> escribió:____
>>
>>
>> __ __
>>
>>
>> Al que le haya interesado puede encontrar una
>> discusión más
>> formal
>> sobre esto acá:
>>
>> http://terrytao.wordpress.com/__2010/04/10/the-euler-__
>> maclaurin-formula-bernoulli-__numbers-the-zeta-function-and-
>> __real-variable-analytic-__continuation/
>>
>> <http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-
>> maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-
>> real-variable-analytic-continuation/>
>>
>> (gracias a Alan G.)____
>>
>>
>>
>> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
>> <hugo en dc.uba.ar <mailto:hugo en dc.uba.ar> <mailto:hugo en dc.uba.ar
>> <mailto:hugo en dc.uba.ar>>> wrote:
>> > http://www.youtube.com/watch?__v=w-I6XTVZXww
>>
>> <http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
>> >
>> > --
>> > Dr.Hugo D.Scolnik
>> > Profesor Consulto Titular
>> > Departamento de Computación
>> > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
>> > Universidad de Buenos Aires
>> > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar> <http://www.dc.uba.ar>
>>
>> > TE : +5411 4576 3359 <tel:%2B5411%204576%203359>
>> <tel:%2B5411%204576%203359>
>> > Mobile: +5411 4970 6665 <tel:%2B5411%204970%206665>
>> <tel:%2B5411%204970%206665>
>> >____
>>
>>
>> > ==============================__==============================
>>
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>> netiquette (RFC
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