[Todos] [Todos-dm] [DC-Todos] 1+2+3+4.... = -1/12
Matías Leoni
leoni en df.uba.ar
Jue Feb 20 13:47:24 ART 2014
Eduardo,
TE EQUIVOCÁS. Y feo. La "ridiculez" que atribuís a Alicia se llama
"sumabilidad de Euler" que está muy emparentada con la sumabilidad de
Borel. Si uno se queda con la formalización de Cauchy de los criterios de
convergencia y divergencia, tira a la basura todas las series divergentes y
listo.
Sin embargo, hubo matemáticos como vos que se dieron cuenta que proponiendo
tres axiomas de sumabilidad se podía definir una operación formal de "suma"
(llamemosla "suma P") de series divergentes.
Claramente la serie 1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1 .... es divergente en los
criterios de Cauchy. Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que esa
suma satisface los tres axiomas de la teoría de series divergentes y eso
hace que cualquier método que uno use y que satisfaga esos tres axiomas, va
a dar el mismo resultado.
El método que propone Alicia, el de extender analíticamente usando una
serie de potencias, que llamamos "sumabilidad de Euler", satisface los tres
axiomas y da el valor "1/2". Cuando ella dice que esa serie es "igual" a
1/2 lo que está diciendo es que la "suma P" de esa serie es igual a 1/2. A
eso es lo que ella se refiere con "abuso de notación". Y eso es, en
definitiva, un válido "abuso de notación" ya que llevaría mucho espacio
detallar los axiomas, los métodos y los teoremas de la teoría de series
divergentes.
Evidentemente te dedicás a otra área de la matemática y no tenías idea de
que las nociones de sumar series no se acaba en los criterios de Cauchy
(del siglo XIX) pero no por esa ignorancia deberías descalificar tan
directamente la exposición de Alicia.
Te recomiendo, como hice antes, el libro de Hardy. Es un poco viejo pero
para un primer pantallazo está bien.
Saludos,
Matías
2014-02-20 12:02 GMT-03:00 Eduardo J. Dubuc <edubuc en dm.uba.ar>:
> Alicia, felicitaciones por el ejemplo, muy bueno para ver de que se trata
> el asunto.
>
> Quiero simplemente "defender" lo que usualmente se llama "abuso de
> notacion", y al mismo tiempo hacer un analisis matematico formal de la
> situacion. La RIDICULEZ que estamos discutiendo no es un abuso de notacion.
>
> A mi me gusta usar abusos de notacion. Los abusos de notacion que usamos
> los matematicos siempre tienen sentido matematico. La falacia aqui no es un
> abuso de notacion, es simplemente escribir una cosa falsa.
>
> Por ejemplo, yo puedo tener dos funciones f, g: A ----> C, y B c A.
>
> Teorema: para todo x en B, f(x) = g(x).
>
> Despues tomo un a en A que no esta en B, y escribo f(a) = g(a).
>
> Cual es la respuesta: "esta mal" !!, no que "es un abuso de notacion".
>
> Nota: las series determinan funciones parciales definidas en los puntos
> que convergen, y pueden considerarse funciones si se les adjudica
> formalmente un valor {*} en los puntos que no convergen. Lo mismo para
> cualquier funcion parcial. Entonces:
>
> A = R (los reales). B = x en R tales que |x| < 1, C = R U {*}.
>
> f(x) = 1/(1-x), g(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+...
>
> Entonces, f(-1) = g(-1) no es un abuso, es simplemente falso. El teorema
> no se aplica porque -1 no esta en B. De hecho, se tiene
> f(-1) = 1/2, y g(-1) = *, lo que demuestra que f(-1) = g(-1) es falso.
>
> Notar que los teoremas no dicen nada si las hipotesis no se verifican. La
> conclusion podria ser cierta aunque las hipotesis no se verifiquen. Por
> ejemplo, en el caso anterior tenemos f(1) = g(1) = *, y 1 no esta en B.
>
> Por supuesto, con tu ejemplo las supercheria la ven claramente aun
> aquellos con conocimientos matematicos elementales (Analisis I).
>
> Los ignorantes estupidos a los que les gusta hacer impactos mediaticos
> utilizan el ejemplo de la funcion de Riemman porque utiliza conocimientos
> matematicos mucho mas sofisticados (que ni ellos mismos entienden) y que
> sirven para confundir y ocultar la verdad de la situacion a todos aquellos
> que ignoran la nocion de continuidad analitica.
>
>
>
>
> On 20/02/14 10:22, Alicia Dickenstein wrote:
>
>> Hola:
>>
>> Para dar una idea de qué es la continuacion analitica, aca va un ejemplo
>> mas simple:
>>
>> Miremos la serie geometrica: 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+....
>>
>> Si la evaluamos en x=-1 no converge, porque da la serie: 1 -1 + 1 - 1...
>> (cuyas sumas parciales van dando 1, 0, 1, 0, 1, ...)
>>
>> Pero podemos observar que si el modulo de x es menor que 1, la serie
>> geometrica converge y su suma esta dada por la funcion f(x) = 1/(1-x),
>> que puede evaluarse en x=-1. f es una "continuacion analitica" de la
>> serie geometrica.
>>
>> Se DEFINE el valor de la serie en -1 como el valor de f en -1. Como
>> f(-1) = 1/2, podemos "abusar" de la notacion y escribir
>>
>> 1 - 1 + 1 - 1+ .... = 1/2
>>
>> Saludos
>> Alicia
>>
>>
>> 2014-02-19 15:57 GMT-03:00 Nico Kicillof <nicok en outlook.com
>> <mailto:nicok en outlook.com>>:
>>
>> Las dos cosas están explicadas en el link que mandó Matías: ____
>>
>> __ __
>>
>> __Ø__Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...
>> sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____
>>
>>
>> this series is not conditionally convergent (and certainly not
>> absolutely convergent). However, if one performs analytic
>> continuation on the series ____
>>
>>
>> \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 -
>> \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \ldots____
>>
>> and sets {s = 0}, one obtains a formal value of {1/2}for this
>> series. This value can also be obtained by smooth summation. ____
>>
>> __ __
>>
>> __Ø__¿no se podría demostrar que la suma infinita de números
>> positivos no puede dar nunca un número negativo?____
>>
>> __ __
>>
>> __ __
>>
>>
>> This interpretation clears up the apparent inconsistencies alluded
>> to earlier. For instance, the sum {\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 +
>>
>> \ldots}consists only of non-negative terms, as does its smoothed
>> partial sums {\sum_{n=1}^\infty n \eta(n/N)}(if {\eta}is
>>
>> non-negative). Comparing this with (13)
>> <http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-
>> maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-
>> real-variable-analytic-continuation/#zeta-asym-3>,
>> we see that this forces the highest-order term {C_{\eta,1} N^2}to be
>>
>> non-negative (as indeed it is), but does not prohibit the
>> /lower-order/ constant term {-\frac{1}{12}}from being negative
>> (which of course it is).____
>>
>> __ __
>>
>> __ __
>>
>> *From:*todos-bounces en dc.uba.ar <mailto:todos-bounces en dc.uba.ar>
>> [mailto:todos-bounces en dc.uba.ar <mailto:todos-bounces en dc.uba.ar>]
>> *On Behalf Of *Sebastián García Rojas
>> *Sent:* Wednesday, February 19, 2014 9:53 AM
>> *To:* Roberto Rama
>> *Cc:* Matías Leoni; todosdm; todos-df; Todos - DC; Hugo Scolnik
>> *Subject:* Re: [DC-Todos] [Todos] 1+2+3+4.... = -1/12____
>>
>> __ __
>>
>>
>> Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1... sea
>> 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____
>>
>>
>> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la
>> suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número
>> negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando
>> que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?____
>>
>> __ __
>>
>>
>> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com
>> <mailto:bertoski en gmail.com>>:____
>>
>>
>> Yo encontre mas util esta clase para entender lo que estaba
>> pasando:____
>>
>> __ __
>>
>> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s____
>>
>> __ __
>>
>> Saludos!____
>>
>> __ __
>>
>>
>> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <leoni en df.uba.ar
>> <mailto:leoni en df.uba.ar>> escribió:____
>>
>> __ __
>>
>>
>> Al que le haya interesado puede encontrar una discusión más
>> formal
>> sobre esto acá:
>>
>> http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-
>> maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-
>> real-variable-analytic-continuation/
>>
>> (gracias a Alan G.)____
>>
>>
>>
>> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
>> <hugo en dc.uba.ar <mailto:hugo en dc.uba.ar>> wrote:
>> > http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
>> >
>> > --
>> > Dr.Hugo D.Scolnik
>> > Profesor Consulto Titular
>> > Departamento de Computación
>> > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
>> > Universidad de Buenos Aires
>> > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar>
>> > TE : +5411 4576 3359 <tel:%2B5411%204576%203359>
>> > Mobile: +5411 4970 6665 <tel:%2B5411%204970%206665>
>> >____
>>
>>
>> > ==============================
>> ==============================
>> > El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas de
>> netiquette (RFC
>> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
>> disponibles publicamente en
>> > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el
>> envio de mensajes con
>> > fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas
>> puede implicar la
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