<div dir="ltr">Eduardo,<div style><br></div><div style>TE EQUIVOCÁS. Y feo. La "ridiculez" que atribuís a Alicia se llama "sumabilidad de Euler" que está muy emparentada con la sumabilidad de Borel. Si uno se queda con la formalización de Cauchy de los criterios de convergencia y divergencia, tira a la basura todas las series divergentes y listo. </div>
<div style><br></div><div style>Sin embargo, hubo matemáticos como vos que se dieron cuenta que proponiendo tres axiomas de sumabilidad se podía definir una operación formal de "suma" (llamemosla "suma P") de series divergentes.</div>
<div style><br></div><div style>Claramente la serie 1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1 .... es divergente en los criterios de Cauchy. Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que esa suma satisface los tres axiomas de la teoría de series divergentes y eso hace que cualquier método que uno use y que satisfaga esos tres axiomas, va a dar el mismo resultado.</div>
<div style><br></div><div style>El método que propone Alicia, el de extender analíticamente usando una serie de potencias, que llamamos "sumabilidad de Euler", satisface los tres axiomas y da el valor "1/2". Cuando ella dice que esa serie es "igual" a 1/2 lo que está diciendo es que la "suma P" de esa serie es igual a 1/2. A eso es lo que ella se refiere con "abuso de notación". Y eso es, en definitiva, un válido "abuso de notación" ya que llevaría mucho espacio detallar los axiomas, los métodos y los teoremas de la teoría de series divergentes.</div>
<div style><br></div><div style>Evidentemente te dedicás a otra área de la matemática y no tenías idea de que las nociones de sumar series no se acaba en los criterios de Cauchy (del siglo XIX) pero no por esa ignorancia deberías descalificar tan directamente la exposición de Alicia.</div>
<div style><br></div><div style>Te recomiendo, como hice antes, el libro de Hardy. Es un poco viejo pero para un primer pantallazo está bien.</div><div style><br></div><div style>Saludos,</div><div style><br></div><div style>
Matías</div></div><div class="gmail_extra"><br><br><div class="gmail_quote">2014-02-20 12:02 GMT-03:00 Eduardo J. Dubuc <span dir="ltr"><<a href="mailto:edubuc@dm.uba.ar" target="_blank">edubuc@dm.uba.ar</a>></span>:<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Alicia, felicitaciones por el ejemplo, muy bueno para ver de que se trata el asunto.<br>
<br>
Quiero simplemente "defender" lo que usualmente se llama "abuso de notacion", y al mismo tiempo hacer un analisis matematico formal de la situacion. La RIDICULEZ que estamos discutiendo no es un abuso de notacion.<br>
<br>
A mi me gusta usar abusos de notacion. Los abusos de notacion que usamos los matematicos siempre tienen sentido matematico. La falacia aqui no es un abuso de notacion, es simplemente escribir una cosa falsa.<br>
<br>
Por ejemplo, yo puedo tener dos funciones f, g: A ----> C, y B c A.<br>
<br>
Teorema: para todo x en B, f(x) = g(x).<br>
<br>
Despues tomo un a en A que no esta en B, y escribo f(a) = g(a).<br>
<br>
Cual es la respuesta: "esta mal" !!, no que "es un abuso de notacion".<br>
<br>
Nota: las series determinan funciones parciales definidas en los puntos que convergen, y pueden considerarse funciones si se les adjudica formalmente un valor {*} en los puntos que no convergen. Lo mismo para cualquier funcion parcial. Entonces:<br>
<br>
A = R (los reales). B = x en R tales que |x| < 1, C = R U {*}.<br>
<br>
f(x) = 1/(1-x), g(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+...<br>
<br>
Entonces, f(-1) = g(-1) no es un abuso, es simplemente falso. El teorema no se aplica porque -1 no esta en B. De hecho, se tiene<br>
f(-1) = 1/2, y g(-1) = *, lo que demuestra que f(-1) = g(-1) es falso.<br>
<br>
Notar que los teoremas no dicen nada si las hipotesis no se verifican. La conclusion podria ser cierta aunque las hipotesis no se verifiquen. Por ejemplo, en el caso anterior tenemos f(1) = g(1) = *, y 1 no esta en B.<br>
<br>
Por supuesto, con tu ejemplo las supercheria la ven claramente aun aquellos con conocimientos matematicos elementales (Analisis I).<br>
<br>
Los ignorantes estupidos a los que les gusta hacer impactos mediaticos utilizan el ejemplo de la funcion de Riemman porque utiliza conocimientos matematicos mucho mas sofisticados (que ni ellos mismos entienden) y que sirven para confundir y ocultar la verdad de la situacion a todos aquellos que ignoran la nocion de continuidad analitica.<div class="">
<br>
<br>
<br>
<br>
On 20/02/14 10:22, Alicia Dickenstein wrote:<br>
</div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div class="">
Hola:<br>
<br>
Para dar una idea de qué es la continuacion analitica, aca va un ejemplo<br>
mas simple:<br>
<br>
Miremos la serie geometrica: 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+....<br>
<br>
Si la evaluamos en x=-1 no converge, porque da la serie: 1 -1 + 1 - 1...<br>
(cuyas sumas parciales van dando 1, 0, 1, 0, 1, ...)<br>
<br>
Pero podemos observar que si el modulo de x es menor que 1, la serie<br>
geometrica converge y su suma esta dada por la funcion f(x) = 1/(1-x),<br>
que puede evaluarse en x=-1. f es una "continuacion analitica" de la<br>
serie geometrica.<br>
<br>
Se DEFINE el valor de la serie en -1 como el valor de f en -1. Como<br>
f(-1) = 1/2, podemos "abusar" de la notacion y escribir<br>
<br>
1 - 1 + 1 - 1+ .... = 1/2<br>
<br>
Saludos<br>
Alicia<br>
<br>
<br>
2014-02-19 15:57 GMT-03:00 Nico Kicillof <<a href="mailto:nicok@outlook.com" target="_blank">nicok@outlook.com</a><br></div>
<mailto:<a href="mailto:nicok@outlook.com" target="_blank">nicok@outlook.com</a>>>:<br>
<br>
Las dos cosas están explicadas en el link que mandó Matías: ____<br>
<br>
__ __<br>
<br>
__Ø__Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...<br>
sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____<div class=""><br>
<br>
this series is not conditionally convergent (and certainly not<br>
absolutely convergent). However, if one performs analytic<br></div>
continuation on the series ____<div class=""><br>
<br>
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 -<br></div>
\frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \ldots____<br>
<br>
and sets {s = 0}, one obtains a formal value of {1/2}for this<br>
series. This value can also be obtained by smooth summation. ____<br>
<br>
__ __<br>
<br>
__Ø__¿no se podría demostrar que la suma infinita de números<br>
positivos no puede dar nunca un número negativo?____<br>
<br>
__ __<br>
<br>
__ __<div class=""><br>
<br>
This interpretation clears up the apparent inconsistencies alluded<br></div>
to earlier. For instance, the sum {\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 +<div class=""><br>
\ldots}consists only of non-negative terms, as does its smoothed<br></div>
partial sums {\sum_{n=1}^\infty n \eta(n/N)}(if {\eta}is<div class=""><br>
non-negative). Comparing this with (13)<br></div>
<<a href="http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/#zeta-asym-3" target="_blank">http://terrytao.wordpress.<u></u>com/2010/04/10/the-euler-<u></u>maclaurin-formula-bernoulli-<u></u>numbers-the-zeta-function-and-<u></u>real-variable-analytic-<u></u>continuation/#zeta-asym-3</a>>,<br>
we see that this forces the highest-order term {C_{\eta,1} N^2}to be<div class=""><br>
non-negative (as indeed it is), but does not prohibit the<br></div>
/lower-order/ constant term {-\frac{1}{12}}from being negative<br>
(which of course it is).____<br>
<br>
__ __<br>
<br>
__ __<br>
<br>
*From:*<a href="mailto:todos-bounces@dc.uba.ar" target="_blank">todos-bounces@dc.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:todos-bounces@dc.uba.ar" target="_blank">todos-bounces@dc.uba.<u></u>ar</a>><br>
[mailto:<a href="mailto:todos-bounces@dc.uba.ar" target="_blank">todos-bounces@dc.uba.<u></u>ar</a> <mailto:<a href="mailto:todos-bounces@dc.uba.ar" target="_blank">todos-bounces@dc.uba.<u></u>ar</a>>]<br>
*On Behalf Of *Sebastián García Rojas<br>
*Sent:* Wednesday, February 19, 2014 9:53 AM<br>
*To:* Roberto Rama<br>
*Cc:* Matías Leoni; todosdm; todos-df; Todos - DC; Hugo Scolnik<br>
*Subject:* Re: [DC-Todos] [Todos] 1+2+3+4.... = -1/12____<br>
<br>
__ __<div class=""><br>
<br>
Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1... sea<br></div>
1/2. ¿Realmente converge esa suma?____<div class=""><br>
<br>
Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la<br>
suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número<br>
negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando<br></div>
que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?____<br>
<br>
__ __<div class=""><br>
<br>
2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <<a href="mailto:bertoski@gmail.com" target="_blank">bertoski@gmail.com</a><br></div>
<mailto:<a href="mailto:bertoski@gmail.com" target="_blank">bertoski@gmail.com</a>>>:_<u></u>___<div class=""><br>
<br>
Yo encontre mas util esta clase para entender lo que estaba<br></div>
pasando:____<br>
<br>
__ __<br>
<br>
<a href="http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s____" target="_blank">http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=<u></u>44m43s____</a><br>
<br>
__ __<br>
<br>
Saludos!____<br>
<br>
__ __<div class=""><br>
<br>
El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a><br></div>
<mailto:<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a>>> escribió:____<br>
<br>
__ __<div class=""><br>
<br>
Al que le haya interesado puede encontrar una discusión más<br>
formal<br>
sobre esto acá:<br>
<br>
<a href="http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/" target="_blank">http://terrytao.wordpress.com/<u></u>2010/04/10/the-euler-<u></u>maclaurin-formula-bernoulli-<u></u>numbers-the-zeta-function-and-<u></u>real-variable-analytic-<u></u>continuation/</a><br>
<br></div>
(gracias a Alan G.)____<div class=""><br>
<br>
<br>
On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik<br></div><div class="">
<<a href="mailto:hugo@dc.uba.ar" target="_blank">hugo@dc.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:hugo@dc.uba.ar" target="_blank">hugo@dc.uba.ar</a>>> wrote:<br>
> <a href="http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?<u></u>v=w-I6XTVZXww</a><br>
><br>
> --<br>
> Dr.Hugo D.Scolnik<br>
> Profesor Consulto Titular<br>
> Departamento de Computación<br>
> Facultad de Ciencias Exactas y Naturales<br>
> Universidad de Buenos Aires<br></div>
> <a href="http://www.dc.uba.ar" target="_blank">www.dc.uba.ar</a> <<a href="http://www.dc.uba.ar" target="_blank">http://www.dc.uba.ar</a>><br>
> TE : <a href="tel:%2B5411%204576%203359" value="+541145763359" target="_blank">+5411 4576 3359</a> <tel:%2B5411%204576%203359><br>
> Mobile: <a href="tel:%2B5411%204970%206665" value="+541149706665" target="_blank">+5411 4970 6665</a> <tel:%2B5411%204970%206665><br>
>____<div class=""><br>
<br>
> ==============================<u></u>==============================<br>
> El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas de<br>
netiquette (RFC<br>
> 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran<br>
disponibles publicamente en<br>
> la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el<br>
envio de mensajes con<br>
> fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas<br>
puede implicar la<br>
> suspension o el cancelamiento inmediato de la suscripcion<br>
a la lista.<br>
><br>
> Ud. puede desuscribirse libremente entrando a<br>
> <a href="http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos" target="_blank">http://mail.df.uba.ar/mailman/<u></u>listinfo/todos</a><br>
><br>
> Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.<br>
> ------------------------------<u></u>------<br>
><br>
<br>
<br>
<br>
--<br>
Dr. Matías Leoni-Olivera<br>
Physics Department, UBA - CONICET<br>
Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>
1428 - Buenos Aires, Argentina<br></div>
<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a>> -<br>
<a href="mailto:matiasleoni@gmail.com" target="_blank">matiasleoni@gmail.com</a> <mailto:<a href="mailto:matiasleoni@gmail.com" target="_blank">matiasleoni@gmail.com</a>><br>
______________________________<u></u>_________________<br>
Todos mailing list<br>
<a href="mailto:Todos@dc.uba.ar" target="_blank">Todos@dc.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:Todos@dc.uba.ar" target="_blank">Todos@dc.uba.ar</a>><br>
<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos____" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-<u></u>bin/mailman/listinfo/todos____</a><br>
<br>
__ __<br>
<br>
<br>
______________________________<u></u>_________________<br>
Todos mailing list<br>
<a href="mailto:Todos@dc.uba.ar" target="_blank">Todos@dc.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:Todos@dc.uba.ar" target="_blank">Todos@dc.uba.ar</a>><br>
<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos____" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-<u></u>bin/mailman/listinfo/todos____</a><br>
<br>
__ __<br>
<br>
<br>
______________________________<u></u>_________________<br>
Todos-dm mailing list<br>
<a href="mailto:Todos-dm@dm.uba.ar" target="_blank">Todos-dm@dm.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:Todos-dm@dm.uba.ar" target="_blank">Todos-dm@dm.uba.ar</a>><br>
<a href="http://mail.dm.uba.ar/mailman/listinfo/todos-dm" target="_blank">http://mail.dm.uba.ar/mailman/<u></u>listinfo/todos-dm</a><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
This body part will be downloaded on demand.<br>
</blockquote>
</blockquote></div><br><br clear="all"><div><br></div>-- <br>Dr. Matías Leoni-Olivera<br>Physics Department, UBA - CONICET<br>Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>1428 - Buenos Aires, Argentina<br><a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a> - <a href="mailto:matiasleoni@gmail.com" target="_blank">matiasleoni@gmail.com</a>
</div>