[Todos] [Todos-dm] [DC-Todos] 1+2+3+4.... = -1/12
andres
andres en df.uba.ar
Jue Feb 20 12:25:30 ART 2014
Buen comentario.
No todo el mundo quiere continuaciones analíticas.
Hay métodos algorítmicos para obtener 2^x para x entero : multiplicar
por sí mismo. Para obtener raíces enteras, hay métodos algorítmicos de
aproximarlo. Ahí tenemos 2^x para x racional.
Ahora, puedo extender 2^x para reales como 2^x=0 para todo x irracional
- es sólo una convención (quizás útil para algunas cosas) definirla
continua.
Éso es otra muestra de la raíz del mismo mismo tema, en un entorno más
ameno y sin necesidad de series ni Riemann.
Andrés.
On Thu, 20 Feb 2014 12:02:59 -0300 "Eduardo J. Dubuc" <edubuc at dm.uba.ar> wrote:
> Alicia, felicitaciones por el ejemplo, muy bueno para ver de que se
> trata el asunto.
>
> Quiero simplemente "defender" lo que usualmente se llama "abuso de
> notacion", y al mismo tiempo hacer un analisis matematico formal de
> la situacion. La RIDICULEZ que estamos discutiendo no es un abuso de
> notacion.
>
> A mi me gusta usar abusos de notacion. Los abusos de notacion que
> usamos los matematicos siempre tienen sentido matematico. La falacia
> aqui no es un abuso de notacion, es simplemente escribir una cosa
> falsa.
>
> Por ejemplo, yo puedo tener dos funciones f, g: A ----> C, y B c A.
>
> Teorema: para todo x en B, f(x) = g(x).
>
> Despues tomo un a en A que no esta en B, y escribo f(a) = g(a).
>
> Cual es la respuesta: "esta mal" !!, no que "es un abuso de
> notacion".
>
> Nota: las series determinan funciones parciales definidas en los
> puntos que convergen, y pueden considerarse funciones si se les
> adjudica formalmente un valor {*} en los puntos que no convergen. Lo
> mismo para cualquier funcion parcial. Entonces:
>
> A = R (los reales). B = x en R tales que |x| < 1, C = R U {*}.
>
> f(x) = 1/(1-x), g(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+...
>
> Entonces, f(-1) = g(-1) no es un abuso, es simplemente falso. El
> teorema no se aplica porque -1 no esta en B. De hecho, se tiene
> f(-1) = 1/2, y g(-1) = *, lo que demuestra que f(-1) = g(-1) es
> falso.
>
> Notar que los teoremas no dicen nada si las hipotesis no se
> verifican. La conclusion podria ser cierta aunque las hipotesis no se
> verifiquen. Por ejemplo, en el caso anterior tenemos f(1) = g(1) = *,
> y 1 no esta en B.
>
> Por supuesto, con tu ejemplo las supercheria la ven claramente aun
> aquellos con conocimientos matematicos elementales (Analisis I).
>
> Los ignorantes estupidos a los que les gusta hacer impactos
> mediaticos utilizan el ejemplo de la funcion de Riemman porque
> utiliza conocimientos matematicos mucho mas sofisticados (que ni
> ellos mismos entienden) y que sirven para confundir y ocultar la
> verdad de la situacion a todos aquellos que ignoran la nocion de
> continuidad analitica.
>
>
>
> On 20/02/14 10:22, Alicia Dickenstein wrote:
> > Hola:
> >
> > Para dar una idea de qué es la continuacion analitica, aca va un
> > ejemplo mas simple:
> >
> > Miremos la serie geometrica: 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n+....
> >
> > Si la evaluamos en x=-1 no converge, porque da la serie: 1 -1 + 1 -
> > 1... (cuyas sumas parciales van dando 1, 0, 1, 0, 1, ...)
> >
> > Pero podemos observar que si el modulo de x es menor que 1, la serie
> > geometrica converge y su suma esta dada por la funcion f(x) =
> > 1/(1-x), que puede evaluarse en x=-1. f es una "continuacion
> > analitica" de la serie geometrica.
> >
> > Se DEFINE el valor de la serie en -1 como el valor de f en -1.
> > Como f(-1) = 1/2, podemos "abusar" de la notacion y escribir
> >
> > 1 - 1 + 1 - 1+ .... = 1/2
> >
> > Saludos
> > Alicia
> >
> >
> > 2014-02-19 15:57 GMT-03:00 Nico Kicillof <nicok at outlook.com
> > <mailto:nicok at outlook.com>>:
> >
> > Las dos cosas están explicadas en el link que mandó Matías: ____
> >
> > __ __
> >
> > __Ø__Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 +
> > 1... sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____
> >
> > this series is not conditionally convergent (and certainly not
> > absolutely convergent). However, if one performs analytic
> > continuation on the series ____
> >
> > \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 -
> > \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \ldots____
> >
> > and sets {s = 0}, one obtains a formal value of {1/2}for this
> > series. This value can also be obtained by smooth summation.
> > ____
> >
> > __ __
> >
> > __Ø__¿no se podría demostrar que la suma infinita de números
> > positivos no puede dar nunca un número negativo?____
> >
> > __ __
> >
> > __ __
> >
> > This interpretation clears up the apparent inconsistencies
> > alluded to earlier. For instance, the sum {\sum_{n=1}^\infty n = 1
> > + 2 + 3 + \ldots}consists only of non-negative terms, as does its
> > smoothed partial sums {\sum_{n=1}^\infty n \eta(n/N)}(if {\eta}is
> > non-negative). Comparing this with (13)
> > <http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/#zeta-asym-3>,
> > we see that this forces the highest-order term {C_{\eta,1}
> > N^2}to be non-negative (as indeed it is), but does not prohibit the
> > /lower-order/ constant term {-\frac{1}{12}}from being negative
> > (which of course it is).____
> >
> > __ __
> >
> > __ __
> >
> > *From:*todos-bounces at dc.uba.ar <mailto:todos-bounces at dc.uba.ar>
> > [mailto:todos-bounces at dc.uba.ar
> > <mailto:todos-bounces at dc.uba.ar>] *On Behalf Of *Sebastián García
> > Rojas *Sent:* Wednesday, February 19, 2014 9:53 AM
> > *To:* Roberto Rama
> > *Cc:* Matías Leoni; todosdm; todos-df; Todos - DC; Hugo Scolnik
> > *Subject:* Re: [DC-Todos] [Todos] 1+2+3+4.... = -1/12____
> >
> > __ __
> >
> > Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...
> > sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?____
> >
> > Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que
> > la suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número
> > negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y
> > demostrando que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?____
> >
> > __ __
> >
> > 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski at gmail.com
> > <mailto:bertoski at gmail.com>>:____
> >
> > Yo encontre mas util esta clase para entender lo que estaba
> > pasando:____
> >
> > __ __
> >
> > http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s____
> >
> > __ __
> >
> > Saludos!____
> >
> > __ __
> >
> > El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni
> > <leoni at df.uba.ar <mailto:leoni at df.uba.ar>> escribió:____
> >
> > __ __
> >
> > Al que le haya interesado puede encontrar una discusión
> > más formal
> > sobre esto acá:
> >
> > http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
> >
> > (gracias a Alan G.)____
> >
> >
> > On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
> > <hugo at dc.uba.ar <mailto:hugo at dc.uba.ar>> wrote:
> > > http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
> > >
> > > --
> > > Dr.Hugo D.Scolnik
> > > Profesor Consulto Titular
> > > Departamento de Computación
> > > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
> > > Universidad de Buenos Aires
> > > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar>
> > > TE : +5411 4576 3359 <tel:%2B5411%204576%203359>
> > > Mobile: +5411 4970 6665 <tel:%2B5411%204970%206665>
> > >____
> >
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> > > El uso de la lista implica la aceptacion de las
> > > reglas de
> > netiquette (RFC
> > > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
> > disponibles publicamente en
> > > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el
> > envio de mensajes con
> > > fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas
> > puede implicar la
> > > suspension o el cancelamiento inmediato de la
> > > suscripcion
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