[Todos] 1+2+3+4.... = -1/12

[Gaston Giribet]

Cuidado. Referirse al estudio de series divergentes como ilusionismo es,
como mínimo, descuidado. La suma de Borel -por mencionar algún criterio de
convergencia- de series de ese tipo son cosas que, no sólo están bien
establecidas desde hace muchísimo tiempo, sino que, además, están
implícitas en la formulación de muchas cosas de las que los físicos
hacemos. Si no, ¿como entendemos la teoría de campos (e.g. QED y QCD), en
cuanto teoría cuyas expresiones perturbativas tienen muchas veces un radio
de convergencia cero? La forma de entenderlas es exactamente ésa: el
estudio de criterios de convergencia de series que ingenuamente son
divergentes. Ese video es malísimo y hace parecer magia para nenes algo
que, en realidad, es serio. De hecho, me sorprende que estemos discutiendo
un tema ya clásico con YouTube como fuente!

Matías mandó ayer un link para aquéllos que se interesaran en ver cómo es
ese asunto en realidad. Si alguien lo leyó no dirá que lo que vimos hasta
ahora es sólo ilusionismo matemático, fuera lo que fuere el ilusionismo
matemático. Para contribuir a aclarar esto, cuento la forma en la que yo
entiendo esas series. Quizá a algún estudiante le sirva. La forma que yo
entiendo natural de pensar en esto es la siguiente:

La frase 1+2+3+4+5+... tal como está escrita y con el sentido que
aprendemos en el colegio primario para ella no tiene sentido. Acordamos en
esto. Como serie, diverge, y si no fuera porque aparece en los cálculos
físicos de las teorías mejor comprobadas que tiene la física, sólo algunos
pocos se dedicarían a indagar si es posible o no darle un sentido a tal
frase. Ahora bien, resulta que sí aparece en física y en problemas muy
concretos y para nada novedosos. Entonces, es mejor arremangarse y tratar
de pensar qué puede uno hacer con una frase tan sin sentido como lo es una
serie divergente. Por suerte, gente como Borel y otros lo hicieron por
nosotros ya. Ellos pensaron así:

Por supuesto, si una frase no tiene sentido, entonces está vacante el
sentido que se le pueda dar. Así, siempre que uno cumpla con la premisa de
que el sentido que se le asignare no deberá contradecir ninguna otra
identidad matemática, pues está invitado a emprender la tarea. Entonces,
dado que en física se necesita tal cosa, pues hubo quien intentó darle un
sentido a frases como 1+2+3+4+5+... (y a otras como 1+1+1+1+1+...) y logró
hacerlo. La forma de lograrlo está muy bien explicada en el link que Matías
envió ayer a la mañana y lo describo abajo de manera (consistente y)
alternativa:

Por un lado, Uno sabe de la existencia de la función \zeta de Riemann,
llamémosla aquí simplemente z(s). Sabemos (y, si no, Wikipedia nos
lo recuerda) que para valores de su argumento, s, satisfaciendo la
desigualdad Re(s)>1, la función z(s) cumple la igualdad siguiente:

(1)     z(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...

la cual tiene sentido sólo para tales valores de s dado que la serie de la
derecha converge en tal región del plano complejo s. Por comodidad,
llamemos S(s) a la serie del lado derecho de (1) y, así, podemos decir que
para

(2)     Re(s)>1

se cumple la igualdad

(3)    z(s)=S(s)

mientras que para otros valores S(s) sencillamente no tiene sentido.... aún.

Ahora bien, a veces en física (por ejemplo al intentar calcular la fuerza
entre dos placas conductoras) uno se topa con que las ecuaciones del campo
electromagnético (teniendo en cuenta los efectos cuánticos de éste) arrojan
el resultado 1+2+3+4+5+... Ante esto, hay dos actitudes posibles; a
saber: Retirarse indignado del aula gritando "los físicos no saben lo que
hacen" y pateando la puerta es una posibilidad; pero hay otra más
productiva, tratar de pensar cómo remediar la situación y extraer de las
ecuaciones lo que éstas verdaderamente nos quieren decir (¿místico
quién?) Esto último lleva en germen la tarea de intentar darle un sentido a
1+2+3+4+5+... ; es decir, intentar reemplazar esa frase insensata que
aparece en las ecuaciones por otra que sí tenga sentido. Claro está que
esto no se logra reemplazando esa frase por "cualquier cosa" sino por algo
que cumpla una dos cualidades: A) que no entre en contradicción con ningún
otro rincón de la matemática, B) que sea "natural". Aun admitiendo el
carácter subjetivo de la cualidad B), que parece depender de las
preferencias estéticas de cada uno, veremos que el sentido que se le da es
tan tan "natural" que cualquier persona que haya desayunado medianamente
bien a la mañana estaría de acuerdo. La receta (el truco) es el siguiente:
Dado que uno se encuentra con la frase 1+2+3+4+5+... en las ecuaciones y
que quiere/necesita darle sentido a tal cosa, y dado que sabe que para
valores de s cuya parte real sea mayor que 1 sabe que vale la ecuación (3)
de arriba, i.e. 1/1^s+1/2^s+1/3^s+...=z(s), entonces procede así: En lugar
de evaluar la serie de la derecha de (1) en s=-1, lo que suena ridículo,
elige evaluar la función de la izquierda de (1) en -1, lo qué sí tiene
sentido. Esto es: Asígnesele a 1/1^s+1/2^s+1/3^s+... el valor z(s) aun si s
no necesariamente cumple la condición Re(s)>1. Después de todo, la serie
S(s) para s=-1 estaba vacante de sentido, así que asignémosle uno
cumpliendo con extender analíticamente una expresión ya conocida, i.e. (3).
Esto es proponer que (3) valga más allá del horizonte impuesto por (2) y, a
su vez, es decir que ahora podemos darle sentido a cosas como S(s) con s>1,
siendo que ese sentido viene heredado de z(s).

De esta forma, en el caso que nos convoca y que ahora podemos denotar
S(-1)=1+2+3+4+5+..., teniendo en cuenta que en s=2 la función de Riemann
toma el valor z(2)=\pi^2/6, y sabiendo que manipulaciones elementales
llevan a la identidad funcional siguiente:

(4)       z(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(s\pi/2)\Gamma(1-s)z(1-s)

uno verifica que, en efecto, z(-1)=-1/12, donde sólo se usó que
\Gamma(2)=1!=1, y sin(-\pi/2)=-1. Así, los hombres de coraje también
anuncian que

(5)    S(-1)=1+2+3+4+5+...=z(-1)=-1/12.

Ligeramente más complicado es demostrar con la misma fórmula que
1+1+1+1+... puede ser reemplazado "naturalmente" por -1/2.  La dificultad
adicional viene del hecho de que la función z(s) en s=+1 diverge. Entonces,
para mostrar que tiene sentido reemplazar 1+1+1+1+... por -1/2 hay que
tomar un límite y expandir en series de Taylor tanto la
función sin(s\pi/2) como la función z(1-s) en torno a s=0. Sabiendo que
z(x)=1/(x-1)+O(1), lo que es equivalente a decir que z(s)=-1/s+O(1) uno
deduce

(6)    z(0)=lim_{s\to 0) z(s)=lim_{s\to 0}(1/\pi)
(s\pi/2+O(s^3)) (-1/s+O(1)) = -1/2 + O(s^3)

donde sólo se usó la expansión de Taylor y el hecho de que \Gamma(1)=0!=1,
y donde O(s^n) significa algo de orden s^n.

O sea, ahora podemos seguir los pasos de arriba:
Primero, pensar 1+1+1+1+1+... como S(0); luego, invocar la validez de (3)
más allá del horizonte impuesto por (2); y por último, terminar por
asignarle a 1+1+1+1+1+... el valor z(0). Es natural hacerlo (y el que no
está de acuerdo, pues ... ya fue).

Entonces, como corolario de todo esto podemos decir que siempre que uno se
tope con 1+1+1+1+1+... esto significará -1/2. De igual manera a como cada
vez que uno se topa con 1+2+3+4+5+... uno debe entender que eso quiere
decir -1/12.

Otros trucos llevan a los mismos resultados. Por ejemplo, lo que los
físicos llamamos "introducir un regularizador exponencial", que consiste en
agregar una integral de una exponencial que conmuta con la suma infinita y
fuerza la convergencia, no es sino el viejo truco que Borel inventó para
darle sentido a esas series. La convergencia de Borel lleva en el caso de
las series "ingenuamente convergentes" al valor correcto, y en el caso de
series divergentes al mismo valor que lleva el truco de la regularización
de la \zeta de Riemann que describo arriba.

Lo más notable de todo esto es, quizá, que funciona en el sentido más
estricto del término. Es decir: Vas a la ferretería, te comprás un medidor
de fuerzas entre chapas conducturas marca Acme, te vas al taller del fondo
de casa y medís la fuerza entre chapitas, y te da precisamente lo que dice
la cuenta infinita (que "naturalmente" hiciste finita, i.e. que de alguna
manera elegante "regularizaste"). Hablando en serio: Esta fuerza, llamada
fuerza de Casimir, se mide, aunque es un experimento extremadamente
delicado de llevar a cabo (consejo para los estudiantes: No, no sale como
práctica especial de Laboratorio 5; es un experimento de altísima
complejidad.)

Cabe mencionar que hay también otras predicciones de la física que dependen
de esta cuenta. Por ejemplo, la predicción de que el universo tendría 26
dimensiones espacio-temporales si no exstiera la supersimetría, algo con lo
que, por supuesto, todos estamos de acuerdo ;)

En fin.... Lo cierto es que el cálculo se puede hacer de manera rigurosa
invocando la extensión analítica de la función \zeta de Riemann como
bosquejé arriba, y dado que esa función se relaciona con los números B_n de
Bernoulli, uno puede hacer contacto entre lo que describí arriba y lo que
aparece en el link que Matías envió hoy a la mañana, y también puede usar
las representaciones integrales de polilogaritmos para extender el truco, e
incluso usar las mismas expresiones para conectarlo con la suma de Borel,
etc, etc, pero de ilusionismo, acá, nada. La culpa la tieme ese video con
los dos nerds esos que ponen cara de estar haciendo una travesura.

Enfatizo que lo que es digno de atención, en especial para los escépticos,
es que este juego de intentar asignarle sentido a series infinitas se ve
reflejado de manera positiva en los experimentos. La actitud más cautelosa
sería decir que, en realidad, la manera adecuada de escribir las teorías
cuánticas de campos sería en términos de funciones \zeta y no en términos
de series infinitas como es usual hacerlo. Acuerdo.

Para terminar, y como charlaba con una colega al respecto ayer a raíz del
primer mail sobre este asunto, quizá lo más curioso no sea que uno pueda
asignarle valores finitos a frases carentes de sentido como sumas
divergentes, acaso tampoco lo más curioso sea que la suma de infinitos
números positivos termine dando un número negativo, y acaso tampoco sea tan
sorprendente que |1+1+1+1+...| resulte mayor que |1+2+3+4+5+...|, sino que
lo que al menos a mí me sorprende más es que este tipo de trucos resulte
poderoso para asignarle sentido a esas series pero no sirva para asignarle
valor a otras series divergentes que, a priori, no parecerían taaan feas
como las tratadas arriba. Es como si la intuición acerca de cuál infinito
es mejor o peor que otro nos falle (algo que suele ocurrir
tratando con infinitos). Por ejemplo, para aquellos que gustan de estas
cosas, les dejo la tarea de asignarle un sentido a la suma
1+1/2+1/3+1/4+1/5+... mediante trucos similares. Si alguien lo lograra,
entonces ... ¿Ilusionismo?

G

On Wed, 19 Feb 2014, Matías Leoni wrote:

No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy
> general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie divergente.
> Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su vez,
> ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de
> campos y la teoría de cuerdas entre otras.
>
>
> 2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <sebagr en gmail.com>:
>       Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...
>       sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?
>
> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la
> suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número
> negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que
> por lo menos algún paso intermedio es erróneo?
>
>
>
> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com>:
>       Yo encontre mas util esta clase para entender lo que
>       estaba pasando:
> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s
>
> Saludos!
>
>
> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <leoni en df.uba.ar>
> escribió:
>       Al que le haya interesado puede encontrar una
>       discusión más formal
>       sobre esto acá:
>
> http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-
> maclaurin-formula-bernou
>       lli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-
> continuation/
>
>       (gracias a Alan G.)
>
>       On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
>       <hugo en dc.uba.ar> wrote:
>       > ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12<http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
>       >
>       > --
>       > Dr.Hugo D.Scolnik
>       > Profesor Consulto Titular
>       > Departamento de Computación
>       > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
>       > Universidad de Buenos Aires
>       > www.dc.uba.ar
>       > TE      : +5411 4576 3359
>       > Mobile: +5411 4970 6665
>       >
> >
> ============================================================
> > El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas
> de netiquette (RFC
> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
> disponibles publicamente en
> > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el
> envio de mensajes con
> > fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas
> puede implicar la
> > suspension o el cancelamiento inmediato de la
> suscripcion a la lista.
> >
> > Ud. puede desuscribirse libremente entrando a
> > http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos
> >
> > Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.
> > ------------------------------------
> >
>
>
>
> --
> Dr. Matías Leoni-Olivera
> Physics Department, UBA - CONICET
> Pabellon I, Ciudad Universitaria
> 1428 - Buenos Aires, Argentina
> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
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>

On Thursday, February 20, 2014, solari en df.uba.ar <solari en df.uba.ar> wrote:

>  Hola Matías
>
>       hasta ahora lo que hemos visto es "ilusionismo matemático", el truco
> mas evidente es el que acabás de revelar. Si acaso hubiera algun sentido en
> lo que dice esa página, ese sentido lo toma resignificando el "=" por
> "asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie divergente", operacion
> que debería claramente distinguirse de la noción de "igual".
>        ¿no nos podras referir a algun lugar donde las cosas esten
> explicadas racionalmente? No se, yo espero algo del tipo.
> 1. La operacion \ae se define así .... y va de (las series, las
> sucesiones, .... ????) en los reales
> 2. \ae de una sucesion convergente nos da el limite de la sucesion
> 3. \ae de una sucesion que no converge dá un número (real?) que es .....
> 4. las propiedades de \ae son ...
> 5. Demostramos ahora que \ae da un resultado único
> A lo nejor pueden llegar hasta la parte ya no matemática donde se explica
> la relevancia para el conocimiento de a operacion \ae.
>
> Las palabras de David Ruelle resuenan en muchos de nosotros
> 'Not every field of physics yields interestig mathematical physics.
> Luckily, we live in a period with many unsolved problems that are
> interesting and appear amenable to treament. An exception to this statement
> may be relativistic quantun mechanics, largely because of "overgrazzing",
> but there are also vasy areas of *terra incognita*. '
>
> Saludos
>                   Hernan
>
> Matías Leoni <leoni en df.uba.ar<javascript:_e(%7B%7D,'cvml','leoni en df.uba.ar');>>
> escribió:
>
> No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy
> general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie divergente.
> Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su vez,
> ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de
> campos y la teoría de cuerdas entre otras.
>
>
> 2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <sebagr en gmail.com>:
>
>  Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1... sea 1/2.
> ¿Realmente converge esa suma?
>
> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la suma
> infinita de números positivos no puede dar nunca un número negativo, lo que
> estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que por lo menos algún
> paso intermedio es erróneo?
>
>
>
> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com>:
>
>  Yo encontre mas util esta clase para entender lo que estaba pasando:
>
> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s
>
> Saludos!
>
>
> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <leoni en df.uba.ar> escribió:
>
>  Al que le haya interesado puede encontrar una discusión más formal
> sobre esto acá:
>
>
> http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
>
> (gracias a Alan G.)
>
> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik <hugo en dc.uba.ar> wrote:
> > ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12<http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
> >
> > --
> > Dr.Hugo D.Scolnik
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> > El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas de netiquette (RFC
> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran disponibles publicamente
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> > suspension o el cancelamiento inmediato de la suscripcion a la lista.
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> > Ud. puede desuscribirse libremente entrando a
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