<div dir="ltr">Para aquellos interesados y que manejan el programa "Mathematica", las nociones de sumas de series divergentes están incorporados en el programa. Basta con poner la opción "Regularization" en la suma.<div>
<br></div><div>La sintaxis es así<br><div><br></div><div> Sum[<b>a_n</b>, {n, <b>n0</b>, Infinity}, Regularization -> "<b>method</b>"]<br></div></div><div><br></div><div style>donde <b>a_n</b> es la suceción es que quieren sumar, <b>n0</b> es el primer término de la sucesión y <b>method</b> es el método a usar. Ahí pueden poner las opciones "Euler", "Abel", "Borel", "Dirichlet" entre otros. (las comillas en el método son parte de la sintaxis)</div>
<div style><br></div><div style>Por ejemplo si introducen el comando:</div><div style><br></div><div style>Sum[n, {n, 1, Infinity}, Regularization -> "Dirichlet"]<br></div><div><br></div><div style>obtienen como respuesta "-1/12".</div>
<div style><br></div><div style><br></div><div><br></div></div><div class="gmail_extra"><br><br><div class="gmail_quote">2014-02-20 15:32 GMT-03:00 Eduardo J. Dubuc <span dir="ltr"><<a href="mailto:edubuc@dm.uba.ar" target="_blank">edubuc@dm.uba.ar</a>></span>:<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Muy interesante. Aprovecho para hacer notar que los "abusos" para llegar a resultados y predicciones CIERTAS son bien legitimos y permiten avances del conocimiento que son imposibles si uno se autolimita reduciendose a solo lo permitido por un rigor formal matematico estricto.<br>
<br>
Otra cosa es imitar esos legitimos avances con la marquetinera intencion de llegar a resultados FALSOS o paradojicos.<div><div class="h5"><br>
<br>
<br>
On 20/02/14 14:56, Jorge gueron wrote:<br>
</div></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div><div class="h5">
Sí, es cierto que la forma de darle sentido a esas series , el sentido<br>
de Borel y otros es conocido de hace tiempo y resulta en muchos casos<br>
coincidir con lo que intuitivamente había sido sugerido. En verdad Euler<br>
había adelantado muchas de estas cosas en una epoca en que aún el<br>
concepto de límite no había sido fijado por Weiertrass y otros y por<br>
tanto era menos herético ser difuso en estas cosas. Las definiciones<br>
precisas son buenas pero a veces cercenan otras posibilidades.<br>
<br>
Pero lo cierto es que muchos de los libros de teoría cuantica de campos<br>
no aclaran esto (no sé alguno publicado recientemente). De hecho ni se<br>
preocupan por alertar que no tienen idea si las series que están<br>
construyendo al final convergen o nó. Creo que históricamente además fué<br>
así. Quiero decir , cuando Feyman y los otros pioneros inventaron los<br>
métodos de renormalización para la QED se dieron por satisfechos con<br>
primero poder encontrar un método para poder ordenar el montón de<br>
integrales multidimensionales que tenía que calcular ( los diagramas de<br>
Feyman) y después necesitaban darle sentido a una gran cantidad de esas<br>
integrales que eran divergentes y lo lograron con los diferentes métodos<br>
de renormalización. Despues de esa labor ingente resultó que tenían<br>
calculados los coeficientes de la serie perturbativa solo a los primeros<br>
órdenes, segundo o tercero, no sé bien. La suerte aquí fué que cuando<br>
contrastaron esos primeros elementos de la serie con el experimento el<br>
acuerdo fue asombroso.<br>
Calcular los ordenes más altos era cada vez más complicado, más<br>
integrales , más renormalizaciones ,etc. Pero además , para saber si la<br>
serie de potencias final era convergente había que saber el<br>
comportamiento del coeficiente n-esimo y una formula general para este<br>
era cosa imposible...Resulta que algunas de esas series de potencias<br>
tienen radio de convergencia nulo. Lo cual en general es muy dificil de<br>
demostrar. Me imagino que en muchas no se tiene idea de que pasa. Pero<br>
convergen en sentido asintótico. Resulta, y esta fue la gran suerte que<br>
tuvieron , que con frecuencia las primeras sumas parciales de series de<br>
potencias que convergen en sentido asintótico suelen estar cerca del<br>
"resultado" aunque después comienzan a alejarse violentamente. Tengo<br>
entendido que en esto de las series asintóticas, tema que suelen<br>
estudiar los matemáticos aplicados pero no tanto los puros, no hay<br>
demasiados teoremas y sigue siendo un tema que se trabaja de forma más<br>
bien experimental haciendo simulaciones etc.<br>
Como matemático encuentro asombroso que estos pioneros tuviesen la fé de<br>
seguir con todos esos cálculos complejos a pesar de que parecía que eran<br>
un sinsentido y que la suerte los premiara permitiendo que aquello<br>
funcionara a los primeros órdenes. De hecho en alguna parte leí que<br>
Dyson expresaba que ellos pensaban entonces que lo que estaban haciendo<br>
tendría una vida efímera, que sería pronto suplantado por algo más<br>
sólido. Dirac tambien lo criticaba. Pero ahí está muchas décadas después<br>
y ahora no solo sirve para hacer predicciones físicas sino tambien<br>
conjeturas en topología , geometría ,etc.<br>
En resumen, especulo que aunque a esas sumas e integrales divergentes en<br>
el sentido standard se les puede dar un sentido: continuación analítica,<br>
sumas de Borel, etc , los físicos fueron más ingénuos al respecto y<br>
afortunados. ¿O no?.<br>
Otra especulación que me planteo es que efectivamente, si tomamos una<br>
serie de potencia que tiene un radio de convergencia finito y extendemos<br>
analíticamente la función definida por la serie más allá de la región de<br>
convergencia estaría encontrando una forma unívoca de "extender" la<br>
serie. El ser univoco viene de que le estoy pidiendo a la función que<br>
sea derivable en el sentido complejo. Si no las respuestas serian<br>
infinitas. O sea necesito que la extensión sea derivable compleja. O sea<br>
, si no se hubiesen inventado o descubierto previamente los números<br>
complejos y la teoría de funciones de variable compleja no habría forma<br>
de darle un sentido a esto. La física mide cantidades reales,<br>
probablemente con los racionales baste pues la precisión de los aparatos<br>
es finita en todo momento histórico.¿ Se podía idear la mecánica<br>
cuántica sin antes no se tenían los complejos?. Pareciera que la<br>
invención o descubrimiento de los números complejos a la física no le es<br>
esencial pero sin embargo....<br>
<br>
Jorge Gueron.<br>
<br>
<br>
El día jueves, 20 de febrero de 2014 12:22, Gaston Giribet<br>
<<a href="mailto:gaston@df.uba.ar" target="_blank">gaston@df.uba.ar</a>> escribió:<br>
Cuidado. Referirse al estudio de series divergentes como ilusionismo es,<br>
como mínimo, descuidado. La suma de Borel -por mencionar algún criterio<br>
de convergencia- de series de ese tipo son cosas que, no sólo están bien<br>
establecidas desde hace muchísimo tiempo, sino que, además, están<br>
implícitas en la formulación de muchas cosas de las que los físicos<br>
hacemos. Si no, ¿como entendemos la teoría de campos (e.g. QED y QCD),<br>
en cuanto teoría cuyas expresiones perturbativas tienen muchas veces un<br>
radio de convergencia cero? La forma de entenderlas es exactamente ésa:<br>
el estudio de criterios de convergencia de series que ingenuamente son<br>
divergentes. Ese video es malísimo y hace parecer magia para nenes algo<br>
que, en realidad, es serio. De hecho, me sorprende que estemos<br>
discutiendo un tema ya clásico con YouTube como fuente!<br>
<br>
Matías mandó ayer un link para aquéllos que se interesaran en ver cómo<br>
es ese asunto en realidad. Si alguien lo leyó no dirá que lo que vimos<br>
hasta ahora es sólo ilusionismo matemático, fuera lo que fuere el<br>
ilusionismo matemático. Para contribuir a aclarar esto, cuento la forma<br>
en la que yo entiendo esas series. Quizá a algún estudiante le sirva. La<br>
forma que yo entiendo natural de pensar en esto es la siguiente:<br>
<br>
La frase 1+2+3+4+5+... tal como está escrita y con el sentido que<br>
aprendemos en el colegio primario para ella no tiene sentido. Acordamos<br>
en esto. Como serie, diverge, y si no fuera porque aparece en los<br>
cálculos físicos de las teorías mejor comprobadas que tiene la física,<br>
sólo algunos pocos se dedicarían a indagar si es posible o no darle un<br>
sentido a tal frase. Ahora bien, resulta que sí aparece en física y en<br>
problemas muy concretos y para nada novedosos. Entonces, es mejor<br>
arremangarse y tratar de pensar qué puede uno hacer con una frase tan<br>
sin sentido como lo es una serie divergente. Por suerte, gente como<br>
Borel y otros lo hicieron por nosotros ya. Ellos pensaron así:<br>
<br>
Por supuesto, si una frase no tiene sentido, entonces está vacante el<br>
sentido que se le pueda dar. Así, siempre que uno cumpla con la premisa<br>
de que el sentido que se le asignare no deberá contradecir ninguna otra<br>
identidad matemática, pues está invitado a emprender la tarea. Entonces,<br>
dado que en física se necesita tal cosa, pues hubo quien intentó darle<br>
un sentido a frases como 1+2+3+4+5+... (y a otras como 1+1+1+1+1+...) y<br>
logró hacerlo. La forma de lograrlo está muy bien explicada en el link<br>
que Matías envió ayer a la mañana y lo describo abajo de manera<br>
(consistente y) alternativa:<br>
<br>
Por un lado, Uno sabe de la existencia de la función \zeta de Riemann,<br>
llamémosla aquí simplemente z(s). Sabemos (y, si no, Wikipedia nos lo<br>
recuerda) que para valores de su argumento, s, satisfaciendo la<br>
desigualdad Re(s)>1, la función z(s) cumple la igualdad siguiente:<br>
<br></div></div>
(1) z(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/__4^<u></u>s+...<div><div class="h5"><br>
<br>
la cual tiene sentido sólo para tales valores de s dado que la serie de<br>
la derecha converge en tal región del plano complejo s. Por comodidad,<br>
llamemos S(s) a la serie del lado derecho de (1) y, así, podemos decir<br>
que para<br>
<br>
(2) Re(s)>1<br>
<br>
se cumple la igualdad<br>
<br>
(3) z(s)=S(s)<br>
<br>
mientras que para otros valores S(s) sencillamente no tiene sentido.... aún.<br>
<br>
Ahora bien, a veces en física (por ejemplo al intentar calcular la<br>
fuerza entre dos placas conductoras) uno se topa con que las ecuaciones<br>
del campo electromagnético (teniendo en cuenta los efectos cuánticos de<br>
éste) arrojan el resultado 1+2+3+4+5+... Ante esto, hay dos actitudes<br>
posibles; a saber: Retirarse indignado del aula gritando "los físicos no<br>
saben lo que hacen" y pateando la puerta es una posibilidad; pero hay<br>
otra más productiva, tratar de pensar cómo remediar la situación y<br>
extraer de las ecuaciones lo que éstas verdaderamente nos quieren decir<br>
(¿místico quién?) Esto último lleva en germen la tarea de intentar darle<br>
un sentido a 1+2+3+4+5+... ; es decir, intentar reemplazar esa frase<br>
insensata que aparece en las ecuaciones por otra que sí tenga sentido.<br>
Claro está que esto no se logra reemplazando esa frase por "cualquier<br>
cosa" sino por algo que cumpla una dos cualidades: A) que no entre en<br>
contradicción con ningún otro rincón de la matemática, B) que sea<br>
"natural". Aun admitiendo el carácter subjetivo de la cualidad B), que<br>
parece depender de las preferencias estéticas de cada uno, veremos que<br>
el sentido que se le da es tan tan "natural" que cualquier persona que<br>
haya desayunado medianamente bien a la mañana estaría de acuerdo. La<br>
receta (el truco) es el siguiente: Dado que uno se encuentra con la<br>
frase 1+2+3+4+5+... en las ecuaciones y que quiere/necesita darle<br>
sentido a tal cosa, y dado que sabe que para valores de s cuya parte<br>
real sea mayor que 1 sabe que vale la ecuación (3) de arriba, i.e.<br>
1/1^s+1/2^s+1/3^s+...=z(s), entonces procede así: En lugar de evaluar la<br>
serie de la derecha de (1) en s=-1, lo que suena ridículo, elige evaluar<br>
la función de la izquierda de (1) en -1, lo qué sí tiene sentido. Esto<br>
es: Asígnesele a 1/1^s+1/2^s+1/3^s+... el valor z(s) aun si s no<br>
necesariamente cumple la condición Re(s)>1. Después de todo, la serie<br>
S(s) para s=-1 estaba vacante de sentido, así que asignémosle uno<br>
cumpliendo con extender analíticamente una expresión ya conocida, i.e.<br>
(3). Esto es proponer que (3) valga más allá del horizonte impuesto por<br>
(2) y, a su vez, es decir que ahora podemos darle sentido a cosas como<br>
S(s) con s>1, siendo que ese sentido viene heredado de z(s).<br>
<br>
De esta forma, en el caso que nos convoca y que ahora podemos denotar<br>
S(-1)=1+2+3+4+5+..., teniendo en cuenta que en s=2 la función de Riemann<br>
toma el valor z(2)=\pi^2/6, y sabiendo que manipulaciones elementales<br>
llevan a la identidad funcional siguiente:<br>
<br></div></div>
(4) z(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(s\pi/2)\<u></u>__Gamma(1-s)z(1-s)<div><div class="h5"><br>
<br>
uno verifica que, en efecto, z(-1)=-1/12, donde sólo se usó que<br>
\Gamma(2)=1!=1, y sin(-\pi/2)=-1. Así, los hombres de coraje también<br>
anuncian que<br>
<br>
(5) S(-1)=1+2+3+4+5+...=z(-1)=-1/<u></u>12.<br>
<br>
Ligeramente más complicado es demostrar con la misma fórmula que<br>
1+1+1+1+... puede ser reemplazado "naturalmente" por -1/2. La dificultad<br>
adicional viene del hecho de que la función z(s) en s=+1 diverge.<br>
Entonces, para mostrar que tiene sentido reemplazar 1+1+1+1+... por -1/2<br>
hay que tomar un límite y expandir en series de Taylor tanto la función<br>
sin(s\pi/2) como la función z(1-s) en torno a s=0. Sabiendo que<br>
z(x)=1/(x-1)+O(1), lo que es equivalente a decir que z(s)=-1/s+O(1) uno<br>
deduce<br>
<br>
(6) z(0)=lim_{s\to 0) z(s)=lim_{s\to 0}(1/\pi) (s\pi/2+O(s^3))<br>
(-1/s+O(1)) = -1/2 + O(s^3)<br>
<br>
donde sólo se usó la expansión de Taylor y el hecho de que<br>
\Gamma(1)=0!=1, y donde O(s^n) significa algo de orden s^n.<br>
<br>
O sea, ahora podemos seguir los pasos de arriba: Primero, pensar<br>
1+1+1+1+1+... como S(0); luego, invocar la validez de (3) más allá del<br>
horizonte impuesto por (2); y por último, terminar por asignarle a<br>
1+1+1+1+1+... el valor z(0). Es natural hacerlo (y el que no está de<br>
acuerdo, pues ... ya fue).<br>
<br>
Entonces, como corolario de todo esto podemos decir que siempre que uno<br>
se tope con 1+1+1+1+1+... esto significará -1/2. De igual manera a como<br>
cada vez que uno se topa con 1+2+3+4+5+... uno debe entender que eso<br>
quiere decir -1/12.<br>
<br>
Otros trucos llevan a los mismos resultados. Por ejemplo, lo que los<br>
físicos llamamos "introducir un regularizador exponencial", que consiste<br>
en agregar una integral de una exponencial que conmuta con la suma<br>
infinita y fuerza la convergencia, no es sino el viejo truco que Borel<br>
inventó para darle sentido a esas series. La convergencia de Borel lleva<br>
en el caso de las series "ingenuamente convergentes" al valor correcto,<br>
y en el caso de series divergentes al mismo valor que lleva el truco de<br>
la regularización de la \zeta de Riemann que describo arriba.<br>
<br>
Lo más notable de todo esto es, quizá, que funciona en el sentido más<br>
estricto del término. Es decir: Vas a la ferretería, te comprás un<br>
medidor de fuerzas entre chapas conducturas marca Acme, te vas al taller<br>
del fondo de casa y medís la fuerza entre chapitas, y te da precisamente<br>
lo que dice la cuenta infinita (que "naturalmente" hiciste finita, i.e.<br>
que de alguna manera elegante "regularizaste"). Hablando en serio: Esta<br>
fuerza, llamada fuerza de Casimir, se mide, aunque es un experimento<br>
extremadamente delicado de llevar a cabo (consejo para los estudiantes:<br>
No, no sale como práctica especial de Laboratorio 5; es un experimento<br>
de altísima complejidad.)<br>
<br>
Cabe mencionar que hay también otras predicciones de la física que<br>
dependen de esta cuenta. Por ejemplo, la predicción de que el universo<br>
tendría 26 dimensiones espacio-temporales si no exstiera la<br>
supersimetría, algo con lo que, por supuesto, todos estamos de acuerdo ;)<br>
<br>
En fin.... Lo cierto es que el cálculo se puede hacer de manera rigurosa<br>
invocando la extensión analítica de la función \zeta de Riemann como<br>
bosquejé arriba, y dado que esa función se relaciona con los números B_n<br>
de Bernoulli, uno puede hacer contacto entre lo que describí arriba y lo<br>
que aparece en el link que Matías envió hoy a la mañana, y también puede<br>
usar las representaciones integrales de polilogaritmos para extender el<br>
truco, e incluso usar las mismas expresiones para conectarlo con la suma<br>
de Borel, etc, etc, pero de ilusionismo, acá, nada. La culpa la tieme<br>
ese video con los dos nerds esos que ponen cara de estar haciendo una<br>
travesura.<br>
<br>
Enfatizo que lo que es digno de atención, en especial para los<br>
escépticos, es que este juego de intentar asignarle sentido a series<br>
infinitas se ve reflejado de manera positiva en los experimentos. La<br>
actitud más cautelosa sería decir que, en realidad, la manera adecuada<br>
de escribir las teorías cuánticas de campos sería en términos de<br>
funciones \zeta y no en términos de series infinitas como es usual<br>
hacerlo. Acuerdo.<br>
<br>
Para terminar, y como charlaba con una colega al respecto ayer a raíz<br>
del primer mail sobre este asunto, quizá lo más curioso no sea que uno<br>
pueda asignarle valores finitos a frases carentes de sentido como sumas<br>
divergentes, acaso tampoco lo más curioso sea que la suma de infinitos<br>
números positivos termine dando un número negativo, y acaso tampoco sea<br>
tan sorprendente que |1+1+1+1+...| resulte mayor que |1+2+3+4+5+...|,<br>
sino que lo que al menos a mí me sorprende más es que este tipo de<br>
trucos resulte poderoso para asignarle sentido a esas series pero no<br>
sirva para asignarle valor a otras series divergentes que, a priori, no<br>
parecerían taaan feas como las tratadas arriba. Es como si la intuición<br>
acerca de cuál infinito es mejor o peor que otro nos falle (algo que<br>
suele ocurrir tratando con infinitos). Por ejemplo, para aquellos que<br>
gustan de estas cosas, les dejo la tarea de asignarle un sentido a la<br>
suma 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... mediante trucos similares. Si alguien lo<br>
lograra, entonces ... ¿Ilusionismo?<br>
<br>
G<br>
<br>
On Wed, 19 Feb 2014, Matías Leoni wrote:<br>
<br>
No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy<br>
general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie<br>
divergente.<br>
Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su<br>
vez,<br>
ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de<br>
campos y la teoría de cuerdas entre otras.<br>
<br>
<br>
2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <<a href="mailto:sebagr@gmail.com" target="_blank">sebagr@gmail.com</a>>:<br>
Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...<br>
sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?<br>
<br>
Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la<br>
suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número<br>
negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que<br>
por lo menos algún paso intermedio es erróneo?<br>
<br>
<br>
<br>
2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <<a href="mailto:bertoski@gmail.com" target="_blank">bertoski@gmail.com</a>>:<br>
Yo encontre mas util esta clase para entender lo que<br>
estaba pasando:<br></div></div>
<a href="http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=__44m43s" target="_blank">http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=<u></u>__44m43s</a><div class=""><br>
<<a href="http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s" target="_blank">http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?<u></u>t=44m43s</a>><br>
<br>
Saludos!<br>
<br>
<br>
El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a>><br>
escribió:<br>
Al que le haya interesado puede encontrar una<br>
discusión más formal<br>
sobre esto acá:<br>
<br></div>
<a href="http://terrytao.wordpress.com/__2010/04/10/the-euler-__maclaurin-formula-bernou" target="_blank">http://terrytao.wordpress.com/<u></u>__2010/04/10/the-euler-__<u></u>maclaurin-formula-bernou</a><br>
<<a href="http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernou" target="_blank">http://terrytao.wordpress.<u></u>com/2010/04/10/the-euler-<u></u>maclaurin-formula-bernou</a>><br>
lli-numbers-the-zeta-function-<u></u>__and-real-variable-analytic-_<u></u>_continuation/<div class=""><br>
<br>
(gracias a Alan G.)<br>
<br>
On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik<br>
<<a href="mailto:hugo@dc.uba.ar" target="_blank">hugo@dc.uba.ar</a>> wrote:<br>
> ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12<br></div>
<<a href="http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?<u></u>v=w-I6XTVZXww</a>><div class=""><br>
><br>
> --<br>
> Dr.Hugo D.Scolnik<br>
> Profesor Consulto Titular<br>
> Departamento de Computación<br>
> Facultad de Ciencias Exactas y Naturales<br>
> Universidad de Buenos Aires<br></div>
> <a href="http://www.dc.uba.ar" target="_blank">www.dc.uba.ar</a> <<a href="http://www.dc.uba.ar/" target="_blank">http://www.dc.uba.ar/</a>><div class=""><br>
> TE : <a href="tel:%2B5411%204576%203359" value="+541145763359" target="_blank">+5411 4576 3359</a><br>
> Mobile: <a href="tel:%2B5411%204970%206665" value="+541149706665" target="_blank">+5411 4970 6665</a><br>
><br>
><br></div>
==============================<u></u>__============================<u></u>==<div class=""><br>
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<<a href="http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos" target="_blank">http://mail.df.uba.ar/<u></u>mailman/listinfo/todos</a>><br>
><br>
> Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.<br></div>
> ------------------------------<u></u>__------<div class=""><br>
><br>
<br>
<br>
<br>
--<br>
Dr. Matías Leoni-Olivera<br>
Physics Department, UBA - CONICET<br>
Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>
1428 - Buenos Aires, Argentina<br>
<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a> - <a href="mailto:matiasleoni@gmail.com" target="_blank">matiasleoni@gmail.com</a><br></div>
______________________________<u></u>___________________<br>
Todos mailing list<br>
<a href="mailto:Todos@dc.uba.ar" target="_blank">Todos@dc.uba.ar</a><br>
<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-__bin/mailman/listinfo/todos" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-_<u></u>_bin/mailman/listinfo/todos</a><br>
<<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-<u></u>bin/mailman/listinfo/todos</a>><br>
<br>
<br>
<br>
______________________________<u></u>___________________<br>
Todos mailing list<br>
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<<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-<u></u>bin/mailman/listinfo/todos</a>><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
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<br>
On Thursday, February 20, 2014, <a href="mailto:solari@df.uba.ar" target="_blank">solari@df.uba.ar</a><br></div>
<mailto:<a href="mailto:solari@df.uba.ar" target="_blank">solari@df.uba.ar</a>> <<a href="mailto:solari@df.uba.ar" target="_blank">solari@df.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:solari@df.uba.ar" target="_blank">solari@df.uba.ar</a>>><div class="">
<br>
wrote:<br>
<br>
Hola Matías<br>
<br>
hasta ahora lo que hemos visto es "ilusionismo matemático", el truco<br>
mas evidente es el que acabás de revelar. Si acaso hubiera algun<br>
sentido en lo que dice esa página, ese sentido lo toma<br>
resignificando el "=" por "asociar unívocamente un número (fínito) a<br>
esa serie divergente", operacion que debería claramente distinguirse<br>
de la noción de "igual".<br>
¿no nos podras referir a algun lugar donde las cosas esten<br>
explicadas racionalmente? No se, yo espero algo del tipo.<br>
1. La operacion \ae se define así .... y va de (las series, las<br>
sucesiones, .... ????) en los reales<br>
2. \ae de una sucesion convergente nos da el limite de la sucesion<br>
3. \ae de una sucesion que no converge dá un número (real?) que es .....<br>
4. las propiedades de \ae son ...<br>
5. Demostramos ahora que \ae da un resultado único<br>
A lo nejor pueden llegar hasta la parte ya no matemática donde se<br>
explica la relevancia para el conocimiento de a operacion \ae.<br>
<br>
Las palabras de David Ruelle resuenan en muchos de nosotros<br>
'Not every field of physics yields interestig mathematical physics.<br>
Luckily, we live in a period with many unsolved problems that are<br>
interesting and appear amenable to treament. An exception to this<br>
statement may be relativistic quantun mechanics, largely because of<br></div>
"overgrazzing", but there are also vasy areas of /terra incognita/. '<div><div class="h5"><br>
<br>
Saludos<br>
Hernan<br>
<br>
Matías Leoni <<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a>> escribió:<br>
</div></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div><div class="h5">
No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera<br>
muy general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie<br>
divergente. Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo<br>
tiene, y a su vez, ese método es muy útil en áreas de la física<br>
como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas entre otras.<br>
<br>
<br>
2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <<a href="mailto:sebagr@gmail.com" target="_blank">sebagr@gmail.com</a>>:<br>
<br>
Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 +<br>
1... sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?<br>
Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar<br>
que la suma infinita de números positivos no puede dar nunca<br>
un número negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero<br>
y demostrando que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?<br>
<br>
<br>
2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <<a href="mailto:bertoski@gmail.com" target="_blank">bertoski@gmail.com</a>>:<br>
<br>
Yo encontre mas util esta clase para entender lo que<br>
estaba pasando:<br>
<a href="http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s" target="_blank">http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=<u></u>44m43s</a><br>
Saludos!<br>
<br>
<br>
El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni<br>
<<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a>> escribió:<br>
<br>
Al que le haya interesado puede encontrar una<br>
discusión más formal<br>
sobre esto acá:<br>
<br>
<a href="http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/" target="_blank">http://terrytao.wordpress.com/<u></u>2010/04/10/the-euler-<u></u>maclaurin-formula-bernoulli-<u></u>numbers-the-zeta-function-and-<u></u>real-variable-analytic-<u></u>continuation/</a><br>
<br>
(gracias a Alan G.)<br>
<br>
On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik<br>
<<a href="mailto:hugo@dc.uba.ar" target="_blank">hugo@dc.uba.ar</a>> wrote:<br>
> ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12<br></div></div>
<<a href="http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?<u></u>v=w-I6XTVZXww</a>><div class=""><br>
<br>
><br>
> --<br>
> Dr.Hugo D.Scolnik<br>
> Profesor Consulto Titular<br>
> Departamento de Computación<br>
> Facultad de Ciencias Exactas y Naturales<br>
> Universidad de Buenos Aires<br></div>
> <a href="http://www.dc.uba.ar" target="_blank">www.dc.uba.ar</a> <<a href="http://www.dc.uba.ar/" target="_blank">http://www.dc.uba.ar/</a>><div><div class="h5"><br>
> TE : <a href="tel:%2B5411%204576%203359" value="+541145763359" target="_blank">+5411 4576 3359</a><br>
> Mobile: <a href="tel:%2B5411%204970%206665" value="+541149706665" target="_blank">+5411 4970 6665</a><br>
><br>
><br>
==============================<u></u>==============================<br>
> El uso de la lista implica la aceptacion de las<br>
reglas de netiquette (RFC<br>
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><br>
> Ud. puede desuscribirse libremente entrando a<br>
> <a href="http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos" target="_blank">http://mail.df.uba.ar/mailman/<u></u>listinfo/todos</a><br>
><br>
> Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.<br>
> ------------------------------<u></u>------<br>
><br>
<br>
<br>
<br>
--<br>
Dr. Matías Leoni-Olivera<br>
Physics Department, UBA - CONICET<br>
Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>
1428 - Buenos Aires, Argentina<br>
<a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a> - <a href="mailto:matiasleoni@gmail.com" target="_blank">matiasleoni@gmail.com</a><br>
______________________________<u></u>_________________<br>
Todos mailing list<br>
<a href="mailto:Todos@dc.uba.ar" target="_blank">Todos@dc.uba.ar</a><br>
<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-<u></u>bin/mailman/listinfo/todos</a><br>
<br>
</div></div></blockquote><div><div class="h5">
<br>
<br>
--<br>
Gaston Giribet<br>
Physics Department, FCEN, University of Buenos Aires UBA<br></div></div>
/Ciudad Universitaria, pabellón 1, 1428, Buenos Aires./<br>
<br>
<br>
______________________________<u></u>_________________<br>
Todos-dm mailing list<br>
<a href="mailto:Todos-dm@dm.uba.ar" target="_blank">Todos-dm@dm.uba.ar</a> <mailto:<a href="mailto:Todos-dm@dm.uba.ar" target="_blank">Todos-dm@dm.uba.ar</a>><div class=""><br>
<a href="http://mail.dm.uba.ar/mailman/listinfo/todos-dm" target="_blank">http://mail.dm.uba.ar/mailman/<u></u>listinfo/todos-dm</a><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
This body part will be downloaded on demand.<br>
</div></blockquote>
</blockquote></div><br><br clear="all"><div><br></div>-- <br>Dr. Matías Leoni-Olivera<br>Physics Department, UBA - CONICET<br>Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>1428 - Buenos Aires, Argentina<br><a href="mailto:leoni@df.uba.ar" target="_blank">leoni@df.uba.ar</a> - <a href="mailto:matiasleoni@gmail.com" target="_blank">matiasleoni@gmail.com</a>
</div>