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<title></title>
</head>
<body style="font-family:Arial;font-size:14px">
<p>Hola Gaston:<br>
Me parece muy pertinente tus comentarios. Al final del mail propones asignarle un sentido a la serie 1/1+ 1/2 +1/3 + ..... Feynman demostro (en uno de los bares de Caltech a un grupo de estudiantes, sí, los atendia ahi), como en MBPT uno puede tener (en la expansion del propagador) una suma sobre un numero infinito de terminos infinitos y el resultado es perfectamente convergente!!, i.e., las singularidades se cancelan a un orden muy alto en las expansiones diagramaticas de la autoenergia. Si a la serie de arriba le sustraes otra serie divergente, i.e., lim n ---> infinito de log n, la serie resultante es perfectamente finita. Feynman pasó buena parte de sus últimos años intentando "sumar" series divergentes mediante el metodo de sumaciones parciales.<br>
Saludos,<br>
horacio grinberg<br>
<br>
<br>
<br>
Gaston Giribet <<a href="mailto:gaston@df.uba.ar">gaston@df.uba.ar</a>> escribió:</p>
<blockquote style="border-left: blue 2px solid; padding-left: 8px; margin-left: 8px" type="cite">
<p>Cuidado. Referirse al estudio de series divergentes como ilusionismo es, como mínimo, descuidado. La suma de Borel -por mencionar algún criterio de convergencia- de series de ese tipo son cosas que, no sólo están bien establecidas desde hace muchísimo tiempo, sino que, además, están implícitas en la formulación de muchas cosas de las que los físicos hacemos. Si no, ¿como entendemos la teoría de campos (e.g. QED y QCD), en cuanto teoría cuyas expresiones perturbativas tienen muchas veces un radio de convergencia cero? La forma de entenderlas es exactamente ésa: el estudio de criterios de convergencia de series que ingenuamente son divergentes. Ese video es malísimo y hace parecer magia para nenes algo que, en realidad, es serio. De hecho, me sorprende que estemos discutiendo un tema ya clásico con YouTube como fuente!</p>
<div> </div>
<div>Matías mandó ayer un link para aquéllos que se interesaran en ver cómo es ese asunto en realidad. Si alguien lo leyó no dirá que lo que vimos hasta ahora es sólo ilusionismo matemático, fuera lo que fuere el ilusionismo matemático. Para contribuir a aclarar esto, cuento la forma en la que yo entiendo esas series. Quizá a algún estudiante le sirva. La forma que yo entiendo natural de pensar en esto es la siguiente:</div>
<div><br>
La frase 1+2+3+4+5+... tal como está escrita y con el sentido que aprendemos en el colegio primario para ella no tiene sentido. Acordamos en esto. Como serie, diverge, y si no fuera porque aparece en los cálculos físicos de las teorías mejor comprobadas que tiene la física, sólo algunos pocos se dedicarían a indagar si es posible o no darle un sentido a tal frase. Ahora bien, resulta que sí aparece en física y en problemas muy concretos y para nada novedosos. Entonces, es mejor arremangarse y tratar de pensar qué puede uno hacer con una frase tan sin sentido como lo es una serie divergente. Por suerte, gente como Borel y otros lo hicieron por nosotros ya. Ellos pensaron así:
<div> </div>
<div>Por supuesto, si una frase no tiene sentido, entonces está vacante el sentido que se le pueda dar. Así, siempre que uno cumpla con la premisa de que el sentido que se le asignare no deberá contradecir ninguna otra identidad matemática, pues está invitado a emprender la tarea. Entonces, dado que en física se necesita tal cosa, pues hubo quien intentó darle un sentido a frases como 1+2+3+4+5+... (y a otras como 1+1+1+1+1+...) y logró hacerlo. La forma de lograrlo está muy bien explicada en el link que Matías envió ayer a la mañana y lo describo abajo de manera (consistente y) alternativa:</div>
<div> </div>
<div><span>Por un lado, Uno sabe de la existencia de la función \zeta de Riemann, llamémosla aquí simplemente z(s). Sabemos (y, si no, Wikipedia nos lo recuerda) que para valores de su argumento, s, satisfaciendo la desigualdad Re(s)>1, la función z(s) cumple la igualdad siguiente:</span></div>
<div><br>
(1) z(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...<br>
<br>
la cual tiene sentido sólo para tales valores de s dado que la serie de la derecha converge en tal región del plano complejo s. Por comodidad, llamemos S(s) a la serie del lado derecho de (1) y, así, podemos decir que para</div>
<div> </div>
<div>(2) Re(s)>1</div>
<div> </div>
<div>se cumple la igualdad </div>
<div> </div>
<div>(3) z(s)=S(s)</div>
<div> </div>
<div>mientras que para otros valores S(s) sencillamente no tiene sentido.... aún.<br>
<br>
Ahora bien, a veces en física (por ejemplo al intentar calcular la fuerza entre dos placas conductoras) uno se topa con que las ecuaciones del campo electromagnético (teniendo en cuenta los efectos cuánticos de éste) arrojan el resultado 1+2+3+4+5+... Ante esto, hay dos actitudes posibles; a saber: Retirarse indignado del aula gritando "los físicos no saben lo que hacen" y pateando la puerta es una posibilidad; pero hay otra más productiva, tratar de pensar cómo remediar la situación y extraer de las ecuaciones lo que éstas verdaderamente nos quieren decir (¿místico quién?) Esto último lleva en germen la tarea de intentar darle un sentido a 1+2+3+4+5+... ; es decir, intentar reemplazar esa frase insensata que aparece en las ecuaciones por otra que sí tenga sentido. Claro está que esto no se logra reemplazando esa frase por "cualquier cosa" sino por algo que cumpla una dos cualidades: A) que no entre en contradicción con ningún otro rincón de la matemática, B) que sea "natural". Aun admitiendo el carácter subjetivo de la cualidad B), que parece depender de las preferencias estéticas de cada uno, veremos que el sentido que se le da es tan tan "natural" que cualquier persona que haya desayunado medianamente bien a la mañana estaría de acuerdo. La receta (el truco) es el siguiente: Dado que uno se encuentra con la frase 1+2+3+4+5+... en las ecuaciones y que quiere/necesita darle sentido a tal cosa, y dado que sabe que para valores de s cuya parte real sea mayor que 1 sabe que vale la ecuación (3) de arriba, i.e. 1/1^s+1/2^s+1/3^s+...=z(s), entonces procede así: En lugar de evaluar la serie de la derecha de (1) en s=-1, lo que suena ridículo, elige evaluar la función de la izquierda de (1) en -1, lo qué sí tiene sentido. Esto es: Asígnesele a 1/1^s+1/2^s+1/3^s+... el valor z(s) aun si s no necesariamente cumple la condición Re(s)>1. Después de todo, la serie S(s) para s=-1 estaba vacante de sentido, así que asignémosle uno cumpliendo con extender analíticamente una expresión ya conocida, i.e. (3). Esto es proponer que (3) valga más allá del horizonte impuesto por (2) y, a su vez, es decir que ahora podemos darle sentido a cosas como S(s) con s>1, siendo que ese sentido viene heredado de z(s). </div>
<div> </div>
<div>De esta forma, en el caso que nos convoca y que ahora podemos denotar S(-1)=1+2+3+4+5+..., teniendo en cuenta que en s=2 la función de Riemann toma el valor z(2)=\pi^2/6, y sabiendo que manipulaciones elementales llevan a la identidad funcional siguiente:</div>
<div><br>
(4) z(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(s\pi/2)\Gamma(1-s)z(1-s)<br>
<br>
uno verifica que, en efecto, z(-1)=-1/12, donde sólo se usó que \Gamma(2)=1!=1, y sin(-\pi/2)=-1. Así, los hombres de coraje también anuncian que </div>
<div> </div>
<div>(5) S(-1)=1+2+3+4+5+...=z(-1)=-1/12.<br>
<br>
Ligeramente más complicado es demostrar con la misma fórmula que 1+1+1+1+... puede ser reemplazado "naturalmente" por -1/2. La dificultad adicional viene del hecho de que la función z(s) en s=+1 diverge. Entonces, para mostrar que tiene sentido reemplazar 1+1+1+1+... por -1/2 hay que tomar un límite y expandir en series de Taylor tanto la función sin(s\pi/2) como la función z(1-s) en torno a s=0. Sabiendo que z(x)=1/(x-1)+O(1), lo que es equivalente a decir que z(s)=-1/s+O(1) uno deduce<br>
<br>
(6) z(0)=lim_{s\to 0) z(s)=lim_{s\to 0}(1/\pi) (s\pi/2+O(s^3)) (-1/s+O(1)) = -1/2 + O(s^3)<br>
<br>
donde sólo se usó la expansión de Taylor y el hecho de que \Gamma(1)=0!=1, y donde O(s^n) significa algo de orden s^n.<br>
</div>
<div>O sea, ahora podemos seguir los pasos de arriba: Primero, pensar 1+1+1+1+1+... como S(0); luego, invocar la validez de (3) más allá del horizonte impuesto por (2); y por último, terminar por asignarle a 1+1+1+1+1+... el valor z(0). Es natural hacerlo (y el que no está de acuerdo, pues ... ya fue). </div>
<div> </div>
<div>Entonces, como corolario de todo esto podemos decir que siempre que uno se tope con 1+1+1+1+1+... esto significará -1/2. De igual manera a como cada vez que uno se topa con 1+2+3+4+5+... uno debe entender que eso quiere decir -1/12.</div>
<div> </div>
<div>Otros trucos llevan a los mismos resultados. Por ejemplo, lo que los físicos llamamos "introducir un regularizador exponencial", que consiste en agregar una integral de una exponencial que conmuta con la suma infinita y fuerza la convergencia, no es sino el viejo truco que Borel inventó para darle sentido a esas series. La convergencia de Borel lleva en el caso de las series "ingenuamente convergentes" al valor correcto, y en el caso de series divergentes al mismo valor que lleva el truco de la regularización de la \zeta de Riemann que describo arriba.<br>
<br>
Lo más notable de todo esto es, quizá, que funciona en el sentido más estricto del término. Es decir: Vas a la ferretería, te comprás un medidor de fuerzas entre chapas conducturas marca Acme, te vas al taller del fondo de casa y medís la fuerza entre chapitas, y te da precisamente lo que dice la cuenta infinita (que "naturalmente" hiciste finita, i.e. que de alguna manera elegante "regularizaste"). Hablando en serio: Esta fuerza, llamada fuerza de Casimir, se mide, aunque es un experimento extremadamente delicado de llevar a cabo (consejo para los estudiantes: No, no sale como práctica especial de Laboratorio 5; es un experimento de altísima complejidad.)</div>
<div> </div>
<div>Cabe mencionar que hay también otras predicciones de la física que dependen de esta cuenta. Por ejemplo, la predicción de que el universo tendría 26 dimensiones espacio-temporales si no exstiera la supersimetría, algo con lo que, por supuesto, todos estamos de acuerdo ;)<br>
<br>
En fin.... Lo cierto es que el cálculo se puede hacer de manera rigurosa invocando la extensión analítica de la función \zeta de Riemann como bosquejé arriba, y dado que esa función se relaciona con los números B_n de Bernoulli, uno puede hacer contacto entre lo que describí arriba y lo que aparece en el link que Matías envió hoy a la mañana, y también puede usar las representaciones integrales de polilogaritmos para extender el truco, e incluso usar las mismas expresiones para conectarlo con la suma de Borel, etc, etc, pero de ilusionismo, acá, nada. La culpa la tieme ese video con los dos nerds esos que ponen cara de estar haciendo una travesura.</div>
<div> </div>
<div>Enfatizo que lo que es digno de atención, en especial para los escépticos, es que este juego de intentar asignarle sentido a series infinitas se ve reflejado de manera positiva en los experimentos. La actitud más cautelosa sería decir que, en realidad, la manera adecuada de escribir las teorías cuánticas de campos sería en términos de funciones \zeta y no en términos de series infinitas como es usual hacerlo. Acuerdo.<br>
<br>
Para terminar, y como charlaba con una colega al respecto ayer a raíz del primer mail sobre este asunto, quizá lo más curioso no sea que uno pueda asignarle valores finitos a frases carentes de sentido como sumas divergentes, acaso tampoco lo más curioso sea que la suma de infinitos números positivos termine dando un número negativo, y acaso tampoco sea tan sorprendente que |1+1+1+1+...| resulte mayor que |1+2+3+4+5+...|, sino que lo que al menos a mí me sorprende más es que este tipo de trucos resulte poderoso para asignarle sentido a esas series pero no sirva para asignarle valor a otras series divergentes que, a priori, no parecerían taaan feas como las tratadas arriba. Es como si la intuición acerca de cuál infinito es mejor o peor que otro nos falle (algo que suele ocurrir tratando con infinitos). Por ejemplo, para aquellos que gustan de estas cosas, les dejo la tarea de asignarle un sentido a la suma 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... mediante trucos similares. Si alguien lo lograra, entonces ... ¿Ilusionismo?</div>
<div> </div>
<div>G<br>
<br>
On Wed, 19 Feb 2014, Matías Leoni wrote:<br>
<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="border-left: rgb(204,204,204) 1px solid; margin: 0px 0px 0px 0.8ex; padding-left: 1ex">
<p>No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy<br>
general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie divergente.<br>
Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su vez,<br>
ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de<br>
campos y la teoría de cuerdas entre otras.<br>
<br>
<br>
2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <<a style="color: rgb(17,85,204)">sebagr@gmail.com</a>>:<br>
Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...<br>
sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?<br>
<br>
Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la<br>
suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número<br>
negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que<br>
por lo menos algún paso intermedio es erróneo?<br>
<br>
<br>
<br>
2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <<a style="color: rgb(17,85,204)">bertoski@gmail.com</a>>:<br>
Yo encontre mas util esta clase para entender lo que<br>
estaba pasando:<br>
<a href="http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s</a><br>
<br>
Saludos!<br>
<br>
<br>
El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <<a style="color: rgb(17,85,204)">leoni@df.uba.ar</a>><br>
escribió:<br>
Al que le haya interesado puede encontrar una<br>
discusión más formal<br>
sobre esto acá:<br>
<br>
<a href="http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernou" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernou</a><br>
lli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/<br>
<br>
(gracias a Alan G.)<br>
<br>
On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik<br>
<<a style="color: rgb(17,85,204)">hugo@dc.uba.ar</a>> wrote:<br>
> <a href="http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12</a><br>
><br>
> --<br>
> Dr.Hugo D.Scolnik<br>
> Profesor Consulto Titular<br>
> Departamento de Computación<br>
> Facultad de Ciencias Exactas y Naturales<br>
> Universidad de Buenos Aires<br>
> <a href="http://www.dc.uba.ar/" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">www.dc.uba.ar</a><br>
> TE : +5411 4576 3359<br>
> Mobile: +5411 4970 6665<br>
><br>
><br>
============================================================<br>
> El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas<br>
de netiquette (RFC<br>
> 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran<br>
disponibles publicamente en<br>
> la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el<br>
envio de mensajes con<br>
> fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas<br>
puede implicar la<br>
> suspension o el cancelamiento inmediato de la<br>
suscripcion a la lista.<br>
><br>
> Ud. puede desuscribirse libremente entrando a<br>
> <a href="http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos</a><br>
><br>
> Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.<br>
> ------------------------------------<br>
><br>
<br>
<br>
<br>
--<br>
Dr. Matías Leoni-Olivera<br>
Physics Department, UBA - CONICET<br>
Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>
1428 - Buenos Aires, Argentina<br>
<a style="color: rgb(17,85,204)">leoni@df.uba.ar</a> - <a style="color: rgb(17,85,204)">matiasleoni@gmail.com</a><br>
_______________________________________________<br>
Todos mailing list<br>
<a style="color: rgb(17,85,204)">Todos@dc.uba.ar</a><br>
<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos</a><br>
<br>
<br>
<br>
_______________________________________________<br>
Todos mailing list<br>
<a style="color: rgb(17,85,204)">Todos@dc.uba.ar</a><br>
<a href="https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos" style="color: rgb(17,85,204)" target="_blank">https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos</a><br>
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--<br>
Dr. Matías Leoni-Olivera<br>
Physics Department, UBA - CONICET<br>
Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>
1428 - Buenos Aires, Argentina<br>
<a style="color: rgb(17,85,204)">leoni@df.uba.ar</a> - <a style="color: rgb(17,85,204)">matiasleoni@gmail.com</a></p>
</blockquote>
</div>
<div> </div>
</div>
<div>
<div>On Thursday, February 20, 2014, <a href="mailto:solari@df.uba.ar">solari@df.uba.ar</a> <<a href="mailto:solari@df.uba.ar">solari@df.uba.ar</a>> wrote:<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="border-left: #ccc 1px solid; margin: 0px 0px 0px 0.8ex; padding-left: 1ex">
<div style="font-family: Arial; font-size: 14px">
<p>Hola Matías<br>
<br>
hasta ahora lo que hemos visto es "ilusionismo matemático", el truco mas evidente es el que acabás de revelar. Si acaso hubiera algun sentido en lo que dice esa página, ese sentido lo toma resignificando el "=" por "asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie divergente", operacion que debería claramente distinguirse de la noción de "igual".<br>
¿no nos podras referir a algun lugar donde las cosas esten explicadas racionalmente? No se, yo espero algo del tipo.<br>
1. La operacion \ae se define así .... y va de (las series, las sucesiones, .... ????) en los reales<br>
2. \ae de una sucesion convergente nos da el limite de la sucesion<br>
3. \ae de una sucesion que no converge dá un número (real?) que es .....<br>
4. las propiedades de \ae son ...<br>
5. Demostramos ahora que \ae da un resultado único<br>
A lo nejor pueden llegar hasta la parte ya no matemática donde se explica la relevancia para el conocimiento de a operacion \ae.<br>
<br>
Las palabras de David Ruelle resuenan en muchos de nosotros<br>
'Not every field of physics yields interestig mathematical physics. Luckily, we live in a period with many unsolved problems that are interesting and appear amenable to treament. An exception to this statement may be relativistic quantun mechanics, largely because of "overgrazzing", but there are also vasy areas of <em>terra incognita</em>. '<br>
<br>
Saludos<br>
Hernan<br>
<br>
Matías Leoni <<a target="_blank">leoni@df.uba.ar</a>> escribió:</p>
<blockquote style="border-left: blue 2px solid; padding-left: 8px; margin-left: 8px" type="cite">
<div dir="ltr">No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie divergente. Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su vez, ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas entre otras.</div>
<div><br>
<br>
<div>2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <span dir="ltr"><<a>sebagr@gmail.com</a>></span>:<br>
<blockquote style="border-left: #ccc 1px solid; margin: 0px 0px 0px 0.8ex; padding-left: 1ex">
<div dir="ltr">
<div>Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1... sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?<br>
</div>
Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?<br>
</div>
<div><br>
<br>
<div>2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <span dir="ltr"><<a>bertoski@gmail.com</a>></span>:
<div>
<div><br>
<blockquote style="border-left: #ccc 1px solid; margin: 0px 0px 0px 0.8ex; padding-left: 1ex">
<div dir="ltr">Yo encontre mas util esta clase para entender lo que estaba pasando:
<div> </div>
<div><a href="http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s" target="_blank">http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s</a></div>
<div> </div>
<div>Saludos!</div>
</div>
<div><br>
<br>
<div>El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <span dir="ltr"><<a>leoni@df.uba.ar</a>></span> escribió:
<div>
<div><br>
<blockquote style="border-left: #ccc 1px solid; margin: 0px 0px 0px 0.8ex; padding-left: 1ex">
<p>Al que le haya interesado puede encontrar una discusión más formal<br>
sobre esto acá:<br>
<br>
<a href="http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/" target="_blank">http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/</a><br>
<br>
(gracias a Alan G.)</p>
<div>
<div><br>
On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik <<a>hugo@dc.uba.ar</a>> wrote:<br>
> <a href="http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww" target="_blank">ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12</a><br>
><br>
> --<br>
> Dr.Hugo D.Scolnik<br>
> Profesor Consulto Titular<br>
> Departamento de Computación<br>
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</div>
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<span><font color="#888888">--<br>
Dr. Matías Leoni-Olivera<br>
Physics Department, UBA - CONICET<br>
Pabellon I, Ciudad Universitaria<br>
1428 - Buenos Aires, Argentina<br>
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<p><br>
<br>
--</p>
<div dir="ltr">Gaston Giribet<br>
Physics Department, FCEN, University of Buenos Aires UBA
<div><i>Ciudad Universitaria, pabellón 1, 1428, Buenos Aires.</i></div>
</div>
<p> </p>
</blockquote>
<p><br>
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</body>
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