[Todos] [DC-Todos] [Todos-dm] 1+2+3+4.... = -1/12
Federico Lebrón
flebron en dc.uba.ar
Vie Feb 21 13:51:36 ART 2014
Hola!
Una cosa copada relativo a esto es que a veces este abuso de notación
puede dar información verdadera, aunque se haya obtenido por métodos
macabros. Euler fue un famoso ejemplar de esto, usando "intuición"
para probar cosas de sumatorias y productorias infinitas, pero sin (en
ese momento) tener la maquinaria y/o formalismo para probarlo. Ojo,
también a veces patinaba y tiraba cosas que son fruta por motivos
técnicos, o requieren algún arreglo para ser ciertos. Pero el tipo
tenía una intuición prodigiosísima.
Haciendo una digresión hacia computación, otro caso copado se da en el
álgebra de tipos de datos. No voy a hacer toda la construcción acá,
pero sirve ver esta pregunta[1], donde uno tiene un semianillo de
tipos, y usando manipulaciones que no tienen (a priori) sentido para
semianillos (y frecuentemente involucran series formales como la
discusión actual), puede llegar a conclusiones sorpresivas pero
ciertas (como que hay una biyección "canónica" entre árboles binarios,
y 7-tuplas de árboles binarios). Resulta[2] que muchos argumentos que
usualmente se dan con anillos, tienen conclusiones también ciertas
para semianillos, entonces las conclusiones terminan siendo ciertas
(por otros motivos) a pesar del "abuso".
Esto es para decir, como vos decís, a veces este "abuso" o bien es
motivado por intuición, o se usa para adquirirla, y termina dando
frutos una vez que uno lo usa para ver si algo debe "valer
moralmente".
Saludos!
- Fede
[1] http://stackoverflow.com/questions/9190352/abusing-the-algebra-of-algebraic-data-types-why-does-this-work
[2] http://arxiv.org/abs/math/0212377v1
2014-02-20 15:32 GMT-03:00 Eduardo J. Dubuc <edubuc en dm.uba.ar>:
> Muy interesante. Aprovecho para hacer notar que los "abusos" para llegar
> a resultados y predicciones CIERTAS son bien legitimos y permiten
> avances del conocimiento que son imposibles si uno se autolimita
> reduciendose a solo lo permitido por un rigor formal matematico estricto.
>
> Otra cosa es imitar esos legitimos avances con la marquetinera intencion
> de llegar a resultados FALSOS o paradojicos.
>
>
> On 20/02/14 14:56, Jorge gueron wrote:
>> Sí, es cierto que la forma de darle sentido a esas series , el sentido
>> de Borel y otros es conocido de hace tiempo y resulta en muchos casos
>> coincidir con lo que intuitivamente había sido sugerido. En verdad Euler
>> había adelantado muchas de estas cosas en una epoca en que aún el
>> concepto de límite no había sido fijado por Weiertrass y otros y por
>> tanto era menos herético ser difuso en estas cosas. Las definiciones
>> precisas son buenas pero a veces cercenan otras posibilidades.
>>
>> Pero lo cierto es que muchos de los libros de teoría cuantica de campos
>> no aclaran esto (no sé alguno publicado recientemente). De hecho ni se
>> preocupan por alertar que no tienen idea si las series que están
>> construyendo al final convergen o nó. Creo que históricamente además fué
>> así. Quiero decir , cuando Feyman y los otros pioneros inventaron los
>> métodos de renormalización para la QED se dieron por satisfechos con
>> primero poder encontrar un método para poder ordenar el montón de
>> integrales multidimensionales que tenía que calcular ( los diagramas de
>> Feyman) y después necesitaban darle sentido a una gran cantidad de esas
>> integrales que eran divergentes y lo lograron con los diferentes métodos
>> de renormalización. Despues de esa labor ingente resultó que tenían
>> calculados los coeficientes de la serie perturbativa solo a los primeros
>> órdenes, segundo o tercero, no sé bien. La suerte aquí fué que cuando
>> contrastaron esos primeros elementos de la serie con el experimento el
>> acuerdo fue asombroso.
>> Calcular los ordenes más altos era cada vez más complicado, más
>> integrales , más renormalizaciones ,etc. Pero además , para saber si la
>> serie de potencias final era convergente había que saber el
>> comportamiento del coeficiente n-esimo y una formula general para este
>> era cosa imposible...Resulta que algunas de esas series de potencias
>> tienen radio de convergencia nulo. Lo cual en general es muy dificil de
>> demostrar. Me imagino que en muchas no se tiene idea de que pasa. Pero
>> convergen en sentido asintótico. Resulta, y esta fue la gran suerte que
>> tuvieron , que con frecuencia las primeras sumas parciales de series de
>> potencias que convergen en sentido asintótico suelen estar cerca del
>> "resultado" aunque después comienzan a alejarse violentamente. Tengo
>> entendido que en esto de las series asintóticas, tema que suelen
>> estudiar los matemáticos aplicados pero no tanto los puros, no hay
>> demasiados teoremas y sigue siendo un tema que se trabaja de forma más
>> bien experimental haciendo simulaciones etc.
>> Como matemático encuentro asombroso que estos pioneros tuviesen la fé de
>> seguir con todos esos cálculos complejos a pesar de que parecía que eran
>> un sinsentido y que la suerte los premiara permitiendo que aquello
>> funcionara a los primeros órdenes. De hecho en alguna parte leí que
>> Dyson expresaba que ellos pensaban entonces que lo que estaban haciendo
>> tendría una vida efímera, que sería pronto suplantado por algo más
>> sólido. Dirac tambien lo criticaba. Pero ahí está muchas décadas después
>> y ahora no solo sirve para hacer predicciones físicas sino tambien
>> conjeturas en topología , geometría ,etc.
>> En resumen, especulo que aunque a esas sumas e integrales divergentes en
>> el sentido standard se les puede dar un sentido: continuación analítica,
>> sumas de Borel, etc , los físicos fueron más ingénuos al respecto y
>> afortunados. ¿O no?.
>> Otra especulación que me planteo es que efectivamente, si tomamos una
>> serie de potencia que tiene un radio de convergencia finito y extendemos
>> analíticamente la función definida por la serie más allá de la región de
>> convergencia estaría encontrando una forma unívoca de "extender" la
>> serie. El ser univoco viene de que le estoy pidiendo a la función que
>> sea derivable en el sentido complejo. Si no las respuestas serian
>> infinitas. O sea necesito que la extensión sea derivable compleja. O sea
>> , si no se hubiesen inventado o descubierto previamente los números
>> complejos y la teoría de funciones de variable compleja no habría forma
>> de darle un sentido a esto. La física mide cantidades reales,
>> probablemente con los racionales baste pues la precisión de los aparatos
>> es finita en todo momento histórico.¿ Se podía idear la mecánica
>> cuántica sin antes no se tenían los complejos?. Pareciera que la
>> invención o descubrimiento de los números complejos a la física no le es
>> esencial pero sin embargo....
>>
>> Jorge Gueron.
>>
>>
>> El día jueves, 20 de febrero de 2014 12:22, Gaston Giribet
>> <gaston en df.uba.ar> escribió:
>> Cuidado. Referirse al estudio de series divergentes como ilusionismo es,
>> como mínimo, descuidado. La suma de Borel -por mencionar algún criterio
>> de convergencia- de series de ese tipo son cosas que, no sólo están bien
>> establecidas desde hace muchísimo tiempo, sino que, además, están
>> implícitas en la formulación de muchas cosas de las que los físicos
>> hacemos. Si no, ¿como entendemos la teoría de campos (e.g. QED y QCD),
>> en cuanto teoría cuyas expresiones perturbativas tienen muchas veces un
>> radio de convergencia cero? La forma de entenderlas es exactamente ésa:
>> el estudio de criterios de convergencia de series que ingenuamente son
>> divergentes. Ese video es malísimo y hace parecer magia para nenes algo
>> que, en realidad, es serio. De hecho, me sorprende que estemos
>> discutiendo un tema ya clásico con YouTube como fuente!
>>
>> Matías mandó ayer un link para aquéllos que se interesaran en ver cómo
>> es ese asunto en realidad. Si alguien lo leyó no dirá que lo que vimos
>> hasta ahora es sólo ilusionismo matemático, fuera lo que fuere el
>> ilusionismo matemático. Para contribuir a aclarar esto, cuento la forma
>> en la que yo entiendo esas series. Quizá a algún estudiante le sirva. La
>> forma que yo entiendo natural de pensar en esto es la siguiente:
>>
>> La frase 1+2+3+4+5+... tal como está escrita y con el sentido que
>> aprendemos en el colegio primario para ella no tiene sentido. Acordamos
>> en esto. Como serie, diverge, y si no fuera porque aparece en los
>> cálculos físicos de las teorías mejor comprobadas que tiene la física,
>> sólo algunos pocos se dedicarían a indagar si es posible o no darle un
>> sentido a tal frase. Ahora bien, resulta que sí aparece en física y en
>> problemas muy concretos y para nada novedosos. Entonces, es mejor
>> arremangarse y tratar de pensar qué puede uno hacer con una frase tan
>> sin sentido como lo es una serie divergente. Por suerte, gente como
>> Borel y otros lo hicieron por nosotros ya. Ellos pensaron así:
>>
>> Por supuesto, si una frase no tiene sentido, entonces está vacante el
>> sentido que se le pueda dar. Así, siempre que uno cumpla con la premisa
>> de que el sentido que se le asignare no deberá contradecir ninguna otra
>> identidad matemática, pues está invitado a emprender la tarea. Entonces,
>> dado que en física se necesita tal cosa, pues hubo quien intentó darle
>> un sentido a frases como 1+2+3+4+5+... (y a otras como 1+1+1+1+1+...) y
>> logró hacerlo. La forma de lograrlo está muy bien explicada en el link
>> que Matías envió ayer a la mañana y lo describo abajo de manera
>> (consistente y) alternativa:
>>
>> Por un lado, Uno sabe de la existencia de la función \zeta de Riemann,
>> llamémosla aquí simplemente z(s). Sabemos (y, si no, Wikipedia nos lo
>> recuerda) que para valores de su argumento, s, satisfaciendo la
>> desigualdad Re(s)>1, la función z(s) cumple la igualdad siguiente:
>>
>> (1) z(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/__4^s+...
>>
>> la cual tiene sentido sólo para tales valores de s dado que la serie de
>> la derecha converge en tal región del plano complejo s. Por comodidad,
>> llamemos S(s) a la serie del lado derecho de (1) y, así, podemos decir
>> que para
>>
>> (2) Re(s)>1
>>
>> se cumple la igualdad
>>
>> (3) z(s)=S(s)
>>
>> mientras que para otros valores S(s) sencillamente no tiene sentido.... aún.
>>
>> Ahora bien, a veces en física (por ejemplo al intentar calcular la
>> fuerza entre dos placas conductoras) uno se topa con que las ecuaciones
>> del campo electromagnético (teniendo en cuenta los efectos cuánticos de
>> éste) arrojan el resultado 1+2+3+4+5+... Ante esto, hay dos actitudes
>> posibles; a saber: Retirarse indignado del aula gritando "los físicos no
>> saben lo que hacen" y pateando la puerta es una posibilidad; pero hay
>> otra más productiva, tratar de pensar cómo remediar la situación y
>> extraer de las ecuaciones lo que éstas verdaderamente nos quieren decir
>> (¿místico quién?) Esto último lleva en germen la tarea de intentar darle
>> un sentido a 1+2+3+4+5+... ; es decir, intentar reemplazar esa frase
>> insensata que aparece en las ecuaciones por otra que sí tenga sentido.
>> Claro está que esto no se logra reemplazando esa frase por "cualquier
>> cosa" sino por algo que cumpla una dos cualidades: A) que no entre en
>> contradicción con ningún otro rincón de la matemática, B) que sea
>> "natural". Aun admitiendo el carácter subjetivo de la cualidad B), que
>> parece depender de las preferencias estéticas de cada uno, veremos que
>> el sentido que se le da es tan tan "natural" que cualquier persona que
>> haya desayunado medianamente bien a la mañana estaría de acuerdo. La
>> receta (el truco) es el siguiente: Dado que uno se encuentra con la
>> frase 1+2+3+4+5+... en las ecuaciones y que quiere/necesita darle
>> sentido a tal cosa, y dado que sabe que para valores de s cuya parte
>> real sea mayor que 1 sabe que vale la ecuación (3) de arriba, i.e.
>> 1/1^s+1/2^s+1/3^s+...=z(s), entonces procede así: En lugar de evaluar la
>> serie de la derecha de (1) en s=-1, lo que suena ridículo, elige evaluar
>> la función de la izquierda de (1) en -1, lo qué sí tiene sentido. Esto
>> es: Asígnesele a 1/1^s+1/2^s+1/3^s+... el valor z(s) aun si s no
>> necesariamente cumple la condición Re(s)>1. Después de todo, la serie
>> S(s) para s=-1 estaba vacante de sentido, así que asignémosle uno
>> cumpliendo con extender analíticamente una expresión ya conocida, i.e.
>> (3). Esto es proponer que (3) valga más allá del horizonte impuesto por
>> (2) y, a su vez, es decir que ahora podemos darle sentido a cosas como
>> S(s) con s>1, siendo que ese sentido viene heredado de z(s).
>>
>> De esta forma, en el caso que nos convoca y que ahora podemos denotar
>> S(-1)=1+2+3+4+5+..., teniendo en cuenta que en s=2 la función de Riemann
>> toma el valor z(2)=\pi^2/6, y sabiendo que manipulaciones elementales
>> llevan a la identidad funcional siguiente:
>>
>> (4) z(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(s\pi/2)\__Gamma(1-s)z(1-s)
>>
>> uno verifica que, en efecto, z(-1)=-1/12, donde sólo se usó que
>> \Gamma(2)=1!=1, y sin(-\pi/2)=-1. Así, los hombres de coraje también
>> anuncian que
>>
>> (5) S(-1)=1+2+3+4+5+...=z(-1)=-1/12.
>>
>> Ligeramente más complicado es demostrar con la misma fórmula que
>> 1+1+1+1+... puede ser reemplazado "naturalmente" por -1/2. La dificultad
>> adicional viene del hecho de que la función z(s) en s=+1 diverge.
>> Entonces, para mostrar que tiene sentido reemplazar 1+1+1+1+... por -1/2
>> hay que tomar un límite y expandir en series de Taylor tanto la función
>> sin(s\pi/2) como la función z(1-s) en torno a s=0. Sabiendo que
>> z(x)=1/(x-1)+O(1), lo que es equivalente a decir que z(s)=-1/s+O(1) uno
>> deduce
>>
>> (6) z(0)=lim_{s\to 0) z(s)=lim_{s\to 0}(1/\pi) (s\pi/2+O(s^3))
>> (-1/s+O(1)) = -1/2 + O(s^3)
>>
>> donde sólo se usó la expansión de Taylor y el hecho de que
>> \Gamma(1)=0!=1, y donde O(s^n) significa algo de orden s^n.
>>
>> O sea, ahora podemos seguir los pasos de arriba: Primero, pensar
>> 1+1+1+1+1+... como S(0); luego, invocar la validez de (3) más allá del
>> horizonte impuesto por (2); y por último, terminar por asignarle a
>> 1+1+1+1+1+... el valor z(0). Es natural hacerlo (y el que no está de
>> acuerdo, pues ... ya fue).
>>
>> Entonces, como corolario de todo esto podemos decir que siempre que uno
>> se tope con 1+1+1+1+1+... esto significará -1/2. De igual manera a como
>> cada vez que uno se topa con 1+2+3+4+5+... uno debe entender que eso
>> quiere decir -1/12.
>>
>> Otros trucos llevan a los mismos resultados. Por ejemplo, lo que los
>> físicos llamamos "introducir un regularizador exponencial", que consiste
>> en agregar una integral de una exponencial que conmuta con la suma
>> infinita y fuerza la convergencia, no es sino el viejo truco que Borel
>> inventó para darle sentido a esas series. La convergencia de Borel lleva
>> en el caso de las series "ingenuamente convergentes" al valor correcto,
>> y en el caso de series divergentes al mismo valor que lleva el truco de
>> la regularización de la \zeta de Riemann que describo arriba.
>>
>> Lo más notable de todo esto es, quizá, que funciona en el sentido más
>> estricto del término. Es decir: Vas a la ferretería, te comprás un
>> medidor de fuerzas entre chapas conducturas marca Acme, te vas al taller
>> del fondo de casa y medís la fuerza entre chapitas, y te da precisamente
>> lo que dice la cuenta infinita (que "naturalmente" hiciste finita, i.e.
>> que de alguna manera elegante "regularizaste"). Hablando en serio: Esta
>> fuerza, llamada fuerza de Casimir, se mide, aunque es un experimento
>> extremadamente delicado de llevar a cabo (consejo para los estudiantes:
>> No, no sale como práctica especial de Laboratorio 5; es un experimento
>> de altísima complejidad.)
>>
>> Cabe mencionar que hay también otras predicciones de la física que
>> dependen de esta cuenta. Por ejemplo, la predicción de que el universo
>> tendría 26 dimensiones espacio-temporales si no exstiera la
>> supersimetría, algo con lo que, por supuesto, todos estamos de acuerdo ;)
>>
>> En fin.... Lo cierto es que el cálculo se puede hacer de manera rigurosa
>> invocando la extensión analítica de la función \zeta de Riemann como
>> bosquejé arriba, y dado que esa función se relaciona con los números B_n
>> de Bernoulli, uno puede hacer contacto entre lo que describí arriba y lo
>> que aparece en el link que Matías envió hoy a la mañana, y también puede
>> usar las representaciones integrales de polilogaritmos para extender el
>> truco, e incluso usar las mismas expresiones para conectarlo con la suma
>> de Borel, etc, etc, pero de ilusionismo, acá, nada. La culpa la tieme
>> ese video con los dos nerds esos que ponen cara de estar haciendo una
>> travesura.
>>
>> Enfatizo que lo que es digno de atención, en especial para los
>> escépticos, es que este juego de intentar asignarle sentido a series
>> infinitas se ve reflejado de manera positiva en los experimentos. La
>> actitud más cautelosa sería decir que, en realidad, la manera adecuada
>> de escribir las teorías cuánticas de campos sería en términos de
>> funciones \zeta y no en términos de series infinitas como es usual
>> hacerlo. Acuerdo.
>>
>> Para terminar, y como charlaba con una colega al respecto ayer a raíz
>> del primer mail sobre este asunto, quizá lo más curioso no sea que uno
>> pueda asignarle valores finitos a frases carentes de sentido como sumas
>> divergentes, acaso tampoco lo más curioso sea que la suma de infinitos
>> números positivos termine dando un número negativo, y acaso tampoco sea
>> tan sorprendente que |1+1+1+1+...| resulte mayor que |1+2+3+4+5+...|,
>> sino que lo que al menos a mí me sorprende más es que este tipo de
>> trucos resulte poderoso para asignarle sentido a esas series pero no
>> sirva para asignarle valor a otras series divergentes que, a priori, no
>> parecerían taaan feas como las tratadas arriba. Es como si la intuición
>> acerca de cuál infinito es mejor o peor que otro nos falle (algo que
>> suele ocurrir tratando con infinitos). Por ejemplo, para aquellos que
>> gustan de estas cosas, les dejo la tarea de asignarle un sentido a la
>> suma 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... mediante trucos similares. Si alguien lo
>> lograra, entonces ... ¿Ilusionismo?
>>
>> G
>>
>> On Wed, 19 Feb 2014, Matías Leoni wrote:
>>
>> No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy
>> general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie
>> divergente.
>> Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su
>> vez,
>> ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de
>> campos y la teoría de cuerdas entre otras.
>>
>>
>> 2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <sebagr en gmail.com>:
>> Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...
>> sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?
>>
>> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la
>> suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número
>> negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que
>> por lo menos algún paso intermedio es erróneo?
>>
>>
>>
>> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com>:
>> Yo encontre mas util esta clase para entender lo que
>> estaba pasando:
>> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=__44m43s
>> <http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s>
>>
>> Saludos!
>>
>>
>> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <leoni en df.uba.ar>
>> escribió:
>> Al que le haya interesado puede encontrar una
>> discusión más formal
>> sobre esto acá:
>>
>> http://terrytao.wordpress.com/__2010/04/10/the-euler-__maclaurin-formula-bernou
>> <http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernou>
>> lli-numbers-the-zeta-function-__and-real-variable-analytic-__continuation/
>>
>> (gracias a Alan G.)
>>
>> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
>> <hugo en dc.uba.ar> wrote:
>> > ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
>> <http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
>> >
>> > --
>> > Dr.Hugo D.Scolnik
>> > Profesor Consulto Titular
>> > Departamento de Computación
>> > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
>> > Universidad de Buenos Aires
>> > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar/>
>> > TE : +5411 4576 3359
>> > Mobile: +5411 4970 6665
>> >
>> >
>> ==============================__==============================
>> > El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas
>> de netiquette (RFC
>> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
>> disponibles publicamente en
>> > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el
>> envio de mensajes con
>> > fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas
>> puede implicar la
>> > suspension o el cancelamiento inmediato de la
>> suscripcion a la lista.
>> >
>> > Ud. puede desuscribirse libremente entrando a
>> > http://mail.df.uba.ar/mailman/__listinfo/todos
>> <http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos>
>> >
>> > Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.
>> > ------------------------------__------
>> >
>>
>>
>>
>> --
>> Dr. Matías Leoni-Olivera
>> Physics Department, UBA - CONICET
>> Pabellon I, Ciudad Universitaria
>> 1428 - Buenos Aires, Argentina
>> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
>> _________________________________________________
>> Todos mailing list
>> Todos en dc.uba.ar
>> https://listas.dc.uba.ar/cgi-__bin/mailman/listinfo/todos
>> <https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos>
>>
>>
>>
>> _________________________________________________
>> Todos mailing list
>> Todos en dc.uba.ar
>> https://listas.dc.uba.ar/cgi-__bin/mailman/listinfo/todos
>> <https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos>
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Dr. Matías Leoni-Olivera
>> Physics Department, UBA - CONICET
>> Pabellon I, Ciudad Universitaria
>> 1428 - Buenos Aires, Argentina
>> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
>>
>>
>> On Thursday, February 20, 2014, solari en df.uba.ar
>> <mailto:solari en df.uba.ar> <solari en df.uba.ar <mailto:solari en df.uba.ar>>
>> wrote:
>>
>> Hola Matías
>>
>> hasta ahora lo que hemos visto es "ilusionismo matemático", el truco
>> mas evidente es el que acabás de revelar. Si acaso hubiera algun
>> sentido en lo que dice esa página, ese sentido lo toma
>> resignificando el "=" por "asociar unívocamente un número (fínito) a
>> esa serie divergente", operacion que debería claramente distinguirse
>> de la noción de "igual".
>> ¿no nos podras referir a algun lugar donde las cosas esten
>> explicadas racionalmente? No se, yo espero algo del tipo.
>> 1. La operacion \ae se define así .... y va de (las series, las
>> sucesiones, .... ????) en los reales
>> 2. \ae de una sucesion convergente nos da el limite de la sucesion
>> 3. \ae de una sucesion que no converge dá un número (real?) que es .....
>> 4. las propiedades de \ae son ...
>> 5. Demostramos ahora que \ae da un resultado único
>> A lo nejor pueden llegar hasta la parte ya no matemática donde se
>> explica la relevancia para el conocimiento de a operacion \ae.
>>
>> Las palabras de David Ruelle resuenan en muchos de nosotros
>> 'Not every field of physics yields interestig mathematical physics.
>> Luckily, we live in a period with many unsolved problems that are
>> interesting and appear amenable to treament. An exception to this
>> statement may be relativistic quantun mechanics, largely because of
>> "overgrazzing", but there are also vasy areas of /terra incognita/. '
>>
>> Saludos
>> Hernan
>>
>> Matías Leoni <leoni en df.uba.ar> escribió:
>>> No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera
>>> muy general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie
>>> divergente. Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo
>>> tiene, y a su vez, ese método es muy útil en áreas de la física
>>> como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas entre otras.
>>>
>>>
>>> 2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <sebagr en gmail.com>:
>>>
>>> Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 +
>>> 1... sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?
>>> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar
>>> que la suma infinita de números positivos no puede dar nunca
>>> un número negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero
>>> y demostrando que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?
>>>
>>>
>>> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com>:
>>>
>>> Yo encontre mas util esta clase para entender lo que
>>> estaba pasando:
>>> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s
>>> Saludos!
>>>
>>>
>>> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni
>>> <leoni en df.uba.ar> escribió:
>>>
>>> Al que le haya interesado puede encontrar una
>>> discusión más formal
>>> sobre esto acá:
>>>
>>> http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
>>>
>>> (gracias a Alan G.)
>>>
>>> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
>>> <hugo en dc.uba.ar> wrote:
>>> > ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
>>> <http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
>>>
>>> >
>>> > --
>>> > Dr.Hugo D.Scolnik
>>> > Profesor Consulto Titular
>>> > Departamento de Computación
>>> > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
>>> > Universidad de Buenos Aires
>>> > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar/>
>>> > TE : +5411 4576 3359
>>> > Mobile: +5411 4970 6665
>>> >
>>> >
>>> ============================================================
>>> > El uso de la lista implica la aceptacion de las
>>> reglas de netiquette (RFC
>>> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
>>> disponibles publicamente en
>>> > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite
>>> el envio de mensajes con
>>> > fines comerciales. El no cumplimiento de estas
>>> reglas puede implicar la
>>> > suspension o el cancelamiento inmediato de la
>>> suscripcion a la lista.
>>> >
>>> > Ud. puede desuscribirse libremente entrando a
>>> > http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos
>>> >
>>> > Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.
>>> > ------------------------------------
>>> >
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Dr. Matías Leoni-Olivera
>>> Physics Department, UBA - CONICET
>>> Pabellon I, Ciudad Universitaria
>>> 1428 - Buenos Aires, Argentina
>>> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
>>> _______________________________________________
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