[Todos] [Todos-dm] 1+2+3+4.... = -1/12
Eduardo J. Dubuc
edubuc en dm.uba.ar
Jue Feb 20 15:32:29 ART 2014
Muy interesante. Aprovecho para hacer notar que los "abusos" para llegar
a resultados y predicciones CIERTAS son bien legitimos y permiten
avances del conocimiento que son imposibles si uno se autolimita
reduciendose a solo lo permitido por un rigor formal matematico estricto.
Otra cosa es imitar esos legitimos avances con la marquetinera intencion
de llegar a resultados FALSOS o paradojicos.
On 20/02/14 14:56, Jorge gueron wrote:
> Sí, es cierto que la forma de darle sentido a esas series , el sentido
> de Borel y otros es conocido de hace tiempo y resulta en muchos casos
> coincidir con lo que intuitivamente había sido sugerido. En verdad Euler
> había adelantado muchas de estas cosas en una epoca en que aún el
> concepto de límite no había sido fijado por Weiertrass y otros y por
> tanto era menos herético ser difuso en estas cosas. Las definiciones
> precisas son buenas pero a veces cercenan otras posibilidades.
>
> Pero lo cierto es que muchos de los libros de teoría cuantica de campos
> no aclaran esto (no sé alguno publicado recientemente). De hecho ni se
> preocupan por alertar que no tienen idea si las series que están
> construyendo al final convergen o nó. Creo que históricamente además fué
> así. Quiero decir , cuando Feyman y los otros pioneros inventaron los
> métodos de renormalización para la QED se dieron por satisfechos con
> primero poder encontrar un método para poder ordenar el montón de
> integrales multidimensionales que tenía que calcular ( los diagramas de
> Feyman) y después necesitaban darle sentido a una gran cantidad de esas
> integrales que eran divergentes y lo lograron con los diferentes métodos
> de renormalización. Despues de esa labor ingente resultó que tenían
> calculados los coeficientes de la serie perturbativa solo a los primeros
> órdenes, segundo o tercero, no sé bien. La suerte aquí fué que cuando
> contrastaron esos primeros elementos de la serie con el experimento el
> acuerdo fue asombroso.
> Calcular los ordenes más altos era cada vez más complicado, más
> integrales , más renormalizaciones ,etc. Pero además , para saber si la
> serie de potencias final era convergente había que saber el
> comportamiento del coeficiente n-esimo y una formula general para este
> era cosa imposible...Resulta que algunas de esas series de potencias
> tienen radio de convergencia nulo. Lo cual en general es muy dificil de
> demostrar. Me imagino que en muchas no se tiene idea de que pasa. Pero
> convergen en sentido asintótico. Resulta, y esta fue la gran suerte que
> tuvieron , que con frecuencia las primeras sumas parciales de series de
> potencias que convergen en sentido asintótico suelen estar cerca del
> "resultado" aunque después comienzan a alejarse violentamente. Tengo
> entendido que en esto de las series asintóticas, tema que suelen
> estudiar los matemáticos aplicados pero no tanto los puros, no hay
> demasiados teoremas y sigue siendo un tema que se trabaja de forma más
> bien experimental haciendo simulaciones etc.
> Como matemático encuentro asombroso que estos pioneros tuviesen la fé de
> seguir con todos esos cálculos complejos a pesar de que parecía que eran
> un sinsentido y que la suerte los premiara permitiendo que aquello
> funcionara a los primeros órdenes. De hecho en alguna parte leí que
> Dyson expresaba que ellos pensaban entonces que lo que estaban haciendo
> tendría una vida efímera, que sería pronto suplantado por algo más
> sólido. Dirac tambien lo criticaba. Pero ahí está muchas décadas después
> y ahora no solo sirve para hacer predicciones físicas sino tambien
> conjeturas en topología , geometría ,etc.
> En resumen, especulo que aunque a esas sumas e integrales divergentes en
> el sentido standard se les puede dar un sentido: continuación analítica,
> sumas de Borel, etc , los físicos fueron más ingénuos al respecto y
> afortunados. ¿O no?.
> Otra especulación que me planteo es que efectivamente, si tomamos una
> serie de potencia que tiene un radio de convergencia finito y extendemos
> analíticamente la función definida por la serie más allá de la región de
> convergencia estaría encontrando una forma unívoca de "extender" la
> serie. El ser univoco viene de que le estoy pidiendo a la función que
> sea derivable en el sentido complejo. Si no las respuestas serian
> infinitas. O sea necesito que la extensión sea derivable compleja. O sea
> , si no se hubiesen inventado o descubierto previamente los números
> complejos y la teoría de funciones de variable compleja no habría forma
> de darle un sentido a esto. La física mide cantidades reales,
> probablemente con los racionales baste pues la precisión de los aparatos
> es finita en todo momento histórico.¿ Se podía idear la mecánica
> cuántica sin antes no se tenían los complejos?. Pareciera que la
> invención o descubrimiento de los números complejos a la física no le es
> esencial pero sin embargo....
>
> Jorge Gueron.
>
>
> El día jueves, 20 de febrero de 2014 12:22, Gaston Giribet
> <gaston en df.uba.ar> escribió:
> Cuidado. Referirse al estudio de series divergentes como ilusionismo es,
> como mínimo, descuidado. La suma de Borel -por mencionar algún criterio
> de convergencia- de series de ese tipo son cosas que, no sólo están bien
> establecidas desde hace muchísimo tiempo, sino que, además, están
> implícitas en la formulación de muchas cosas de las que los físicos
> hacemos. Si no, ¿como entendemos la teoría de campos (e.g. QED y QCD),
> en cuanto teoría cuyas expresiones perturbativas tienen muchas veces un
> radio de convergencia cero? La forma de entenderlas es exactamente ésa:
> el estudio de criterios de convergencia de series que ingenuamente son
> divergentes. Ese video es malísimo y hace parecer magia para nenes algo
> que, en realidad, es serio. De hecho, me sorprende que estemos
> discutiendo un tema ya clásico con YouTube como fuente!
>
> Matías mandó ayer un link para aquéllos que se interesaran en ver cómo
> es ese asunto en realidad. Si alguien lo leyó no dirá que lo que vimos
> hasta ahora es sólo ilusionismo matemático, fuera lo que fuere el
> ilusionismo matemático. Para contribuir a aclarar esto, cuento la forma
> en la que yo entiendo esas series. Quizá a algún estudiante le sirva. La
> forma que yo entiendo natural de pensar en esto es la siguiente:
>
> La frase 1+2+3+4+5+... tal como está escrita y con el sentido que
> aprendemos en el colegio primario para ella no tiene sentido. Acordamos
> en esto. Como serie, diverge, y si no fuera porque aparece en los
> cálculos físicos de las teorías mejor comprobadas que tiene la física,
> sólo algunos pocos se dedicarían a indagar si es posible o no darle un
> sentido a tal frase. Ahora bien, resulta que sí aparece en física y en
> problemas muy concretos y para nada novedosos. Entonces, es mejor
> arremangarse y tratar de pensar qué puede uno hacer con una frase tan
> sin sentido como lo es una serie divergente. Por suerte, gente como
> Borel y otros lo hicieron por nosotros ya. Ellos pensaron así:
>
> Por supuesto, si una frase no tiene sentido, entonces está vacante el
> sentido que se le pueda dar. Así, siempre que uno cumpla con la premisa
> de que el sentido que se le asignare no deberá contradecir ninguna otra
> identidad matemática, pues está invitado a emprender la tarea. Entonces,
> dado que en física se necesita tal cosa, pues hubo quien intentó darle
> un sentido a frases como 1+2+3+4+5+... (y a otras como 1+1+1+1+1+...) y
> logró hacerlo. La forma de lograrlo está muy bien explicada en el link
> que Matías envió ayer a la mañana y lo describo abajo de manera
> (consistente y) alternativa:
>
> Por un lado, Uno sabe de la existencia de la función \zeta de Riemann,
> llamémosla aquí simplemente z(s). Sabemos (y, si no, Wikipedia nos lo
> recuerda) que para valores de su argumento, s, satisfaciendo la
> desigualdad Re(s)>1, la función z(s) cumple la igualdad siguiente:
>
> (1) z(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/__4^s+...
>
> la cual tiene sentido sólo para tales valores de s dado que la serie de
> la derecha converge en tal región del plano complejo s. Por comodidad,
> llamemos S(s) a la serie del lado derecho de (1) y, así, podemos decir
> que para
>
> (2) Re(s)>1
>
> se cumple la igualdad
>
> (3) z(s)=S(s)
>
> mientras que para otros valores S(s) sencillamente no tiene sentido.... aún.
>
> Ahora bien, a veces en física (por ejemplo al intentar calcular la
> fuerza entre dos placas conductoras) uno se topa con que las ecuaciones
> del campo electromagnético (teniendo en cuenta los efectos cuánticos de
> éste) arrojan el resultado 1+2+3+4+5+... Ante esto, hay dos actitudes
> posibles; a saber: Retirarse indignado del aula gritando "los físicos no
> saben lo que hacen" y pateando la puerta es una posibilidad; pero hay
> otra más productiva, tratar de pensar cómo remediar la situación y
> extraer de las ecuaciones lo que éstas verdaderamente nos quieren decir
> (¿místico quién?) Esto último lleva en germen la tarea de intentar darle
> un sentido a 1+2+3+4+5+... ; es decir, intentar reemplazar esa frase
> insensata que aparece en las ecuaciones por otra que sí tenga sentido.
> Claro está que esto no se logra reemplazando esa frase por "cualquier
> cosa" sino por algo que cumpla una dos cualidades: A) que no entre en
> contradicción con ningún otro rincón de la matemática, B) que sea
> "natural". Aun admitiendo el carácter subjetivo de la cualidad B), que
> parece depender de las preferencias estéticas de cada uno, veremos que
> el sentido que se le da es tan tan "natural" que cualquier persona que
> haya desayunado medianamente bien a la mañana estaría de acuerdo. La
> receta (el truco) es el siguiente: Dado que uno se encuentra con la
> frase 1+2+3+4+5+... en las ecuaciones y que quiere/necesita darle
> sentido a tal cosa, y dado que sabe que para valores de s cuya parte
> real sea mayor que 1 sabe que vale la ecuación (3) de arriba, i.e.
> 1/1^s+1/2^s+1/3^s+...=z(s), entonces procede así: En lugar de evaluar la
> serie de la derecha de (1) en s=-1, lo que suena ridículo, elige evaluar
> la función de la izquierda de (1) en -1, lo qué sí tiene sentido. Esto
> es: Asígnesele a 1/1^s+1/2^s+1/3^s+... el valor z(s) aun si s no
> necesariamente cumple la condición Re(s)>1. Después de todo, la serie
> S(s) para s=-1 estaba vacante de sentido, así que asignémosle uno
> cumpliendo con extender analíticamente una expresión ya conocida, i.e.
> (3). Esto es proponer que (3) valga más allá del horizonte impuesto por
> (2) y, a su vez, es decir que ahora podemos darle sentido a cosas como
> S(s) con s>1, siendo que ese sentido viene heredado de z(s).
>
> De esta forma, en el caso que nos convoca y que ahora podemos denotar
> S(-1)=1+2+3+4+5+..., teniendo en cuenta que en s=2 la función de Riemann
> toma el valor z(2)=\pi^2/6, y sabiendo que manipulaciones elementales
> llevan a la identidad funcional siguiente:
>
> (4) z(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(s\pi/2)\__Gamma(1-s)z(1-s)
>
> uno verifica que, en efecto, z(-1)=-1/12, donde sólo se usó que
> \Gamma(2)=1!=1, y sin(-\pi/2)=-1. Así, los hombres de coraje también
> anuncian que
>
> (5) S(-1)=1+2+3+4+5+...=z(-1)=-1/12.
>
> Ligeramente más complicado es demostrar con la misma fórmula que
> 1+1+1+1+... puede ser reemplazado "naturalmente" por -1/2. La dificultad
> adicional viene del hecho de que la función z(s) en s=+1 diverge.
> Entonces, para mostrar que tiene sentido reemplazar 1+1+1+1+... por -1/2
> hay que tomar un límite y expandir en series de Taylor tanto la función
> sin(s\pi/2) como la función z(1-s) en torno a s=0. Sabiendo que
> z(x)=1/(x-1)+O(1), lo que es equivalente a decir que z(s)=-1/s+O(1) uno
> deduce
>
> (6) z(0)=lim_{s\to 0) z(s)=lim_{s\to 0}(1/\pi) (s\pi/2+O(s^3))
> (-1/s+O(1)) = -1/2 + O(s^3)
>
> donde sólo se usó la expansión de Taylor y el hecho de que
> \Gamma(1)=0!=1, y donde O(s^n) significa algo de orden s^n.
>
> O sea, ahora podemos seguir los pasos de arriba: Primero, pensar
> 1+1+1+1+1+... como S(0); luego, invocar la validez de (3) más allá del
> horizonte impuesto por (2); y por último, terminar por asignarle a
> 1+1+1+1+1+... el valor z(0). Es natural hacerlo (y el que no está de
> acuerdo, pues ... ya fue).
>
> Entonces, como corolario de todo esto podemos decir que siempre que uno
> se tope con 1+1+1+1+1+... esto significará -1/2. De igual manera a como
> cada vez que uno se topa con 1+2+3+4+5+... uno debe entender que eso
> quiere decir -1/12.
>
> Otros trucos llevan a los mismos resultados. Por ejemplo, lo que los
> físicos llamamos "introducir un regularizador exponencial", que consiste
> en agregar una integral de una exponencial que conmuta con la suma
> infinita y fuerza la convergencia, no es sino el viejo truco que Borel
> inventó para darle sentido a esas series. La convergencia de Borel lleva
> en el caso de las series "ingenuamente convergentes" al valor correcto,
> y en el caso de series divergentes al mismo valor que lleva el truco de
> la regularización de la \zeta de Riemann que describo arriba.
>
> Lo más notable de todo esto es, quizá, que funciona en el sentido más
> estricto del término. Es decir: Vas a la ferretería, te comprás un
> medidor de fuerzas entre chapas conducturas marca Acme, te vas al taller
> del fondo de casa y medís la fuerza entre chapitas, y te da precisamente
> lo que dice la cuenta infinita (que "naturalmente" hiciste finita, i.e.
> que de alguna manera elegante "regularizaste"). Hablando en serio: Esta
> fuerza, llamada fuerza de Casimir, se mide, aunque es un experimento
> extremadamente delicado de llevar a cabo (consejo para los estudiantes:
> No, no sale como práctica especial de Laboratorio 5; es un experimento
> de altísima complejidad.)
>
> Cabe mencionar que hay también otras predicciones de la física que
> dependen de esta cuenta. Por ejemplo, la predicción de que el universo
> tendría 26 dimensiones espacio-temporales si no exstiera la
> supersimetría, algo con lo que, por supuesto, todos estamos de acuerdo ;)
>
> En fin.... Lo cierto es que el cálculo se puede hacer de manera rigurosa
> invocando la extensión analítica de la función \zeta de Riemann como
> bosquejé arriba, y dado que esa función se relaciona con los números B_n
> de Bernoulli, uno puede hacer contacto entre lo que describí arriba y lo
> que aparece en el link que Matías envió hoy a la mañana, y también puede
> usar las representaciones integrales de polilogaritmos para extender el
> truco, e incluso usar las mismas expresiones para conectarlo con la suma
> de Borel, etc, etc, pero de ilusionismo, acá, nada. La culpa la tieme
> ese video con los dos nerds esos que ponen cara de estar haciendo una
> travesura.
>
> Enfatizo que lo que es digno de atención, en especial para los
> escépticos, es que este juego de intentar asignarle sentido a series
> infinitas se ve reflejado de manera positiva en los experimentos. La
> actitud más cautelosa sería decir que, en realidad, la manera adecuada
> de escribir las teorías cuánticas de campos sería en términos de
> funciones \zeta y no en términos de series infinitas como es usual
> hacerlo. Acuerdo.
>
> Para terminar, y como charlaba con una colega al respecto ayer a raíz
> del primer mail sobre este asunto, quizá lo más curioso no sea que uno
> pueda asignarle valores finitos a frases carentes de sentido como sumas
> divergentes, acaso tampoco lo más curioso sea que la suma de infinitos
> números positivos termine dando un número negativo, y acaso tampoco sea
> tan sorprendente que |1+1+1+1+...| resulte mayor que |1+2+3+4+5+...|,
> sino que lo que al menos a mí me sorprende más es que este tipo de
> trucos resulte poderoso para asignarle sentido a esas series pero no
> sirva para asignarle valor a otras series divergentes que, a priori, no
> parecerían taaan feas como las tratadas arriba. Es como si la intuición
> acerca de cuál infinito es mejor o peor que otro nos falle (algo que
> suele ocurrir tratando con infinitos). Por ejemplo, para aquellos que
> gustan de estas cosas, les dejo la tarea de asignarle un sentido a la
> suma 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... mediante trucos similares. Si alguien lo
> lograra, entonces ... ¿Ilusionismo?
>
> G
>
> On Wed, 19 Feb 2014, Matías Leoni wrote:
>
> No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera muy
> general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie
> divergente.
> Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo tiene, y a su
> vez,
> ese método es muy útil en áreas de la física como la teoría cuántica de
> campos y la teoría de cuerdas entre otras.
>
>
> 2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <sebagr en gmail.com>:
> Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1...
> sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?
>
> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar que la
> suma infinita de números positivos no puede dar nunca un número
> negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero y demostrando que
> por lo menos algún paso intermedio es erróneo?
>
>
>
> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com>:
> Yo encontre mas util esta clase para entender lo que
> estaba pasando:
> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=__44m43s
> <http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s>
>
> Saludos!
>
>
> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni <leoni en df.uba.ar>
> escribió:
> Al que le haya interesado puede encontrar una
> discusión más formal
> sobre esto acá:
>
> http://terrytao.wordpress.com/__2010/04/10/the-euler-__maclaurin-formula-bernou
> <http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernou>
> lli-numbers-the-zeta-function-__and-real-variable-analytic-__continuation/
>
> (gracias a Alan G.)
>
> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
> <hugo en dc.uba.ar> wrote:
> > ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
> <http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
> >
> > --
> > Dr.Hugo D.Scolnik
> > Profesor Consulto Titular
> > Departamento de Computación
> > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
> > Universidad de Buenos Aires
> > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar/>
> > TE : +5411 4576 3359
> > Mobile: +5411 4970 6665
> >
> >
> ==============================__==============================
> > El uso de la lista implica la aceptacion de las reglas
> de netiquette (RFC
> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
> disponibles publicamente en
> > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite el
> envio de mensajes con
> > fines comerciales. El no cumplimiento de estas reglas
> puede implicar la
> > suspension o el cancelamiento inmediato de la
> suscripcion a la lista.
> >
> > Ud. puede desuscribirse libremente entrando a
> > http://mail.df.uba.ar/mailman/__listinfo/todos
> <http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos>
> >
> > Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.
> > ------------------------------__------
> >
>
>
>
> --
> Dr. Matías Leoni-Olivera
> Physics Department, UBA - CONICET
> Pabellon I, Ciudad Universitaria
> 1428 - Buenos Aires, Argentina
> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
> _________________________________________________
> Todos mailing list
> Todos en dc.uba.ar
> https://listas.dc.uba.ar/cgi-__bin/mailman/listinfo/todos
> <https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos>
>
>
>
> _________________________________________________
> Todos mailing list
> Todos en dc.uba.ar
> https://listas.dc.uba.ar/cgi-__bin/mailman/listinfo/todos
> <https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos>
>
>
>
>
>
> --
> Dr. Matías Leoni-Olivera
> Physics Department, UBA - CONICET
> Pabellon I, Ciudad Universitaria
> 1428 - Buenos Aires, Argentina
> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
>
>
> On Thursday, February 20, 2014, solari en df.uba.ar
> <mailto:solari en df.uba.ar> <solari en df.uba.ar <mailto:solari en df.uba.ar>>
> wrote:
>
> Hola Matías
>
> hasta ahora lo que hemos visto es "ilusionismo matemático", el truco
> mas evidente es el que acabás de revelar. Si acaso hubiera algun
> sentido en lo que dice esa página, ese sentido lo toma
> resignificando el "=" por "asociar unívocamente un número (fínito) a
> esa serie divergente", operacion que debería claramente distinguirse
> de la noción de "igual".
> ¿no nos podras referir a algun lugar donde las cosas esten
> explicadas racionalmente? No se, yo espero algo del tipo.
> 1. La operacion \ae se define así .... y va de (las series, las
> sucesiones, .... ????) en los reales
> 2. \ae de una sucesion convergente nos da el limite de la sucesion
> 3. \ae de una sucesion que no converge dá un número (real?) que es .....
> 4. las propiedades de \ae son ...
> 5. Demostramos ahora que \ae da un resultado único
> A lo nejor pueden llegar hasta la parte ya no matemática donde se
> explica la relevancia para el conocimiento de a operacion \ae.
>
> Las palabras de David Ruelle resuenan en muchos de nosotros
> 'Not every field of physics yields interestig mathematical physics.
> Luckily, we live in a period with many unsolved problems that are
> interesting and appear amenable to treament. An exception to this
> statement may be relativistic quantun mechanics, largely because of
> "overgrazzing", but there are also vasy areas of /terra incognita/. '
>
> Saludos
> Hernan
>
> Matías Leoni <leoni en df.uba.ar> escribió:
>> No, esa suma realmente no converge. Es solo que existe una manera
>> muy general de asociar unívocamente un número (fínito) a esa serie
>> divergente. Aunque parezca no tener sentido, matemáticamente sí lo
>> tiene, y a su vez, ese método es muy útil en áreas de la física
>> como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas entre otras.
>>
>>
>> 2014-02-19 14:52 GMT-03:00 Sebastián García Rojas <sebagr en gmail.com>:
>>
>> Me molesta mucho la idea de que la suma de 1 - 1 + 1 - 1 +
>> 1... sea 1/2. ¿Realmente converge esa suma?
>> Y volviendo a la ecuación original, ¿no se podría demostrar
>> que la suma infinita de números positivos no puede dar nunca
>> un número negativo, lo que estaría contradiciendo a lo primero
>> y demostrando que por lo menos algún paso intermedio es erróneo?
>>
>>
>> 2014-02-19 13:33 GMT-03:00 Roberto Rama <bertoski en gmail.com>:
>>
>> Yo encontre mas util esta clase para entender lo que
>> estaba pasando:
>> http://youtu.be/VvqeJkT3uyo?t=44m43s
>> Saludos!
>>
>>
>> El 18 de febrero de 2014, 19:47, Matías Leoni
>> <leoni en df.uba.ar> escribió:
>>
>> Al que le haya interesado puede encontrar una
>> discusión más formal
>> sobre esto acá:
>>
>> http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
>>
>> (gracias a Alan G.)
>>
>> On Tue, Feb 18, 2014 at 4:05 PM, Hugo Scolnik
>> <hugo en dc.uba.ar> wrote:
>> > ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
>> <http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww>
>>
>> >
>> > --
>> > Dr.Hugo D.Scolnik
>> > Profesor Consulto Titular
>> > Departamento de Computación
>> > Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
>> > Universidad de Buenos Aires
>> > www.dc.uba.ar <http://www.dc.uba.ar/>
>> > TE : +5411 4576 3359
>> > Mobile: +5411 4970 6665
>> >
>> >
>> ============================================================
>> > El uso de la lista implica la aceptacion de las
>> reglas de netiquette (RFC
>> > 1855). Sus mensajes seran almacenados y estaran
>> disponibles publicamente en
>> > la web. Evite comentarios ofensivos. No se permite
>> el envio de mensajes con
>> > fines comerciales. El no cumplimiento de estas
>> reglas puede implicar la
>> > suspension o el cancelamiento inmediato de la
>> suscripcion a la lista.
>> >
>> > Ud. puede desuscribirse libremente entrando a
>> > http://mail.df.uba.ar/mailman/listinfo/todos
>> >
>> > Por favor, no envíe mensajes pidiendo ser desuscripto.
>> > ------------------------------------
>> >
>>
>>
>>
>> --
>> Dr. Matías Leoni-Olivera
>> Physics Department, UBA - CONICET
>> Pabellon I, Ciudad Universitaria
>> 1428 - Buenos Aires, Argentina
>> leoni en df.uba.ar - matiasleoni en gmail.com
>> _______________________________________________
>> Todos mailing list
>> Todos en dc.uba.ar
>> https://listas.dc.uba.ar/cgi-bin/mailman/listinfo/todos
>>
>
>
> --
> Gaston Giribet
> Physics Department, FCEN, University of Buenos Aires UBA
> /Ciudad Universitaria, pabellón 1, 1428, Buenos Aires./
>
>
> _______________________________________________
> Todos-dm mailing list
> Todos-dm en dm.uba.ar <mailto:Todos-dm en dm.uba.ar>
> http://mail.dm.uba.ar/mailman/listinfo/todos-dm
>
>
>
>
> This body part will be downloaded on demand.
Más información sobre la lista de distribución Todos